探究杆连接体绕轴运动动能的计算方法

郑 金

(凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500)

质点组的重力势能等于全部质量集中于质心的势能，但质点组的动能不一定等于全部质量集中于质心的动能.在各质点相对静止的条件下，若质点组只发生平动，则质点组的动能等于全部质量集中于质心的动能；如果质点组发生转动，那么质点组的动能与全部质量集中于质心的动能有何关系呢？柯尼希定理反映了二者的关系，即质点组的动能等于全部质量集中于系统质心的动能与各质点相对于质心的动能之和.

若求出一个物体相对于另一个物体的相对速度v′，则相对运动的动能为

m1v′1=m2v′2v′=v′1+v′2

因此， 两个物体相对于系统质心运动的动能之和为

由此可见，一个物体相对于另一个物体运动的动能等于两个物体相对于系统质心运动的动能之和，即一个物体相对于另一个物体的动能等于两个物体相对于系统质心的动能之和.

对于两个质点构成的杆连接体，在对系统应用机械能守恒定律列方程时，关键是计算动能，可有4种方法，下面进行举例分析.

【例1】如图1所示，质量均为m的两个小球A和B，分别固定在一长为l的轻杆中点和一端.整个装置从水平位置开始绕固定轴O自由转动，求杆运动到竖直位置时两球的速度各为多大？

图1 例1题图

所以

辨析：对于质点组的转动过程，全部质量集中于系统质心的动能不等于各质点的动能之和.

解法1：利用质点运动的动能公式

系统势能减少量等于系统动能增加量，即

由于二者做圆周运动的瞬时角速度相同，则有vB=2vA，而mA=mB，代入方程可得

解法2：利用刚体转动的动能公式

对系统由机械能守恒定律得

连接体的转动惯量为

联立方程可得瞬时角速度为

所以线速度大小分别为

解法3：利用两个物体相对于系统质心的动能和柯尼希定理

对系统由机械能守恒定律可知系统转到竖直位置时对地面的动能Ek等于它在水平位置时的重力势能EpC,又据柯尼西定理得

Ek=EpC=EkC+E′kC

即

化简得

由此得

所以

解法4：利用一个物体相对于另一个物体的动能和柯尼希定理

由于在质心参考系中质点系的总动量为零，即系统的总动量保持不变，因此可认为其中一个小球固定不动，则另一个小球的折合质量为

联立各式得

由此得

所以

【例2】质量不计的直角形支架两端分别连接质量为2m和3m的小球A和B，不考虑小球的形状，支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图2所示，开始时OA边处于水平位置，由静止释放，求小球A在下落过程中的最大速度.

图2 例2题图

解法1：利用质点运动的动能公式

设支架转过的角度为θ，根据系统势能减少量等于系统动能增加量有

2mg·2lsinθ-3mgl(1-cosθ)=

即

令y=4sinθ+3cosθ-3，取导数得

解法2：利用刚体转动的动能公式

对于球杆转动系统，当各质点对转动轴的力矩为零时，各质点的动能分别同时达到最大.设支架转过的角度为θ，根据杠杆平衡条件有

2mg·2lcosθ=3mglsinθ

对系统由机械能守恒定律有

连接体的转动惯量为

I=2m·4l2+3ml2=11ml2

解法3:利用两个质点相对于质心运动的动能公式和柯尼希定理

如图3所示，以O点为坐标原点，沿两杆方向建立直角坐标系，且y轴正方向向下，则两球的位置坐标为A(2l,0)，B(0,l)，根据质心公式可知系统开始时的质心位置坐标为

图3 小球和系统质心在直角坐标系中的位置

图4 速度矢量三角形

因此两球相对于质心运动的动能为

将两球视为一个质量为5m的球放在C点，当杆转过θ=53°时系统的质心下降到O点正下方，系统的势能最小，则两球运动的速度最大.由机械能守恒定律有

解法4:利用两个质点相对运动的动能公式和柯尼希定理

在质心参考系中，折合质量为

可知二者相对运动的动能为

即为两个物体相对于系统质心运动的动能之和.

所以小球A的最大速度为

总之，对于杆连接体绕轴转动问题，在应用系统机械能守恒定律求速度时，关键是求质点组的动能，可有4种方法.在解题时应用的物理规律主要有系统机械能守恒定律、柯尼希定理、相对动能的两种等价形式以及转动惯量、折合质量、杠杆平衡条件、质心的性质和相关的数学知识.多种方法所得结果相同，殊途同归，从而验证了有关规律的正确性.