用智能手机App Video Physics研究竖直平面内的圆周运动

李云天 程敏熙

(华南师范大学物理与电信工程学院 广东 广州 510006 )

Video Physics是一款具有视频分析功能的智能手机App(目前只有ios版本)，此款App具有轨迹追踪、视频分析的功能，结合手机App Vernier Graphical Analysis 4可以对导出数据进行定量分析[1].

本实验用手机App Video Physics和Vernier Graphical Analysis 4研究了小球在竖直平面内做圆周运动的情况，并分析了小球的速度和运动轨迹之间的关系.

1 实验原理

1.1 计算小球在圆形轨道上运动时对应的向心力以及角速度

由向心力计算公式、角速度与线速度的关系式

(1)

(2)

可以计算出小球在圆形轨道上运动时对应的向心力和角速度.

1.2 不同质量的小球从同一高度静止释放到达最低点的速度关系

由动能定理得

(3)

可知，由同一高度h静止释放，如果不同小球所受的空气阻力以及轨道摩擦力f近似相等，则到达圆形轨道最低点时的速度相等.

1.3 小球从不同高度静止释放 运动轨迹不同

如图1所示，我们对在做圆周运动的小球进行受力分析，受到轨道弹力N，切向摩擦力f和小球自身的重力mg，正交分解并结合牛顿第二定律可知，在径向方向上有

图1 在竖直平面内做圆周运动的小球受力分析

当小球恰能运动到最高点则满足θ=0，N=0，此时可得临界速度为

若小球不能做完整的圆周运动，则在脱离时刻N=0，有临界速度为

并且可得

当v90°时，小球不会脱离轨道，将沿着轨道返回.

1.4 由与圆形轨道等高的位置静止释放时小球的脱离点速度

设脱离点速度为v，静止释放高度为h，当h=2r时，由动能定理得

(4)

且有

(5)

联立式(4)、(5)可得，小球的脱离点速度为

(6)

2 实验仪器及步骤

2.1 实验仪器

本实验的主要仪器有iPad、手机支架、小米9智能手机、两个质量不等的小球(m1=42.2g,m2=33.2 g)、自制过山车轨道模型(第一个圆的直径为14.82 cm)、刻度尺(20.00 cm)、圆柱体重物，其中刻度尺起定标作用，圆柱体重物用于稳定装置.

2.2 实验步骤

2.2.1 视频导入及分析

打开iPad上的Video Physics软件，点击左上方的“+”，即可当场拍摄需要分析的视频或上传已经拍摄好的视频片段，其中需要说明的是iPad拍摄所得视频的帧率、清晰度较低，对实验结果的误差影响较大，本实验改用具有60帧4K高清录像功能的小米9手机进行录像，再将视频导入iPad中进行处理，视频导入后便会进入如图2所示的界面，点击上方的“Origin & Scale”，即可进行坐标轴以及标尺的设定.点击两个标尺定位圆选择画面中刻度尺的两端，然后点击并拖动原点定位圆设定坐标原点，并且可以通过旋转来设定坐标轴的方位.

图2 Video Physics定标界面

设定完毕后，点击“Points”进入图3所示的界面，选择下方的逐帧播放按钮直到想要进行视频分析的画面，然后点击并拖动目标定位圆，使其中心与需要追踪的小球中心重合，点击“Track”便可以自动追踪小球的运动情况，由于小球的运动速度过快，需要逐次轻点目标定位圆逐帧地记录下小球的位置.

图3 Video Physics定点界面

2.2.2 数据输出与数据分析

上述操作结束后，点击图3右上方的“数据输出”按钮，将数据文件以.ambl格式输出并导入与Vedio Physics软件配对的数据分析软件Vernier Graphical Analysis 4中，点击右上角的视图选项可以切换成多图界面，表格界面、图表并存界面，点击x轴坐标选项或者y轴坐标选项可以更改坐标轴从而得到不同的图像.点击视图选项切换至表格界面，点击最右一列的“…”选项，添加合速度的新计算栏，名称为“v”，单位为“m/s”，精度保留4位小数，插入相应表达式之后点击应用，则可以得到合速度的数据,如图4所示.

点击视图选项切换至表格界面，切换y轴坐标，即可描绘出“v-t”图像，如图5所示，可以直观显示出小球的合速度变化情况，拖动十字交叉点击曲线上的点，即可读取对应时刻的合速度大小.

图4 表格界面

图5 合速度与时间的关系

3 实验验证

3.1 计算小球在圆形轨道上运动时的向心力与角速度

利用软件的数据读取功能，读取最低点和最高点对应的速度分别为vmax=1.657 5 m/s,vmin=0.929 7 m/s,代入式(1)、(2)，其中小球质量为42.2 g，r=0.074 1 m，可得表1.

表1 小球达到最高点、最低点时的向心力和角速度

计算得出恰能通过最高点的临界速度为

而实验得到的最高点速度为

vmin=0.929 7 m/s>0.851 6 m/s

能通过最高点.实际与理论相符.

3.2 验证不同质量的小球从同一高度静止释放到达最低点的速度相等

将两个质量不同的小球从最高点静止释放，按前面所述视频分析步骤进行分析，得出两个小球的“v-t”图，分别读取两个小球的最大速度，即最低点速度,v1=1.657 5 m/s;同理可得,v2=1.664 8 m/s,相对误差为0.4%，大致可得v1=v2.因此，可得质量不等的两个小球从同一高度静止释放，运动到最低点的速度大致相等，跟小球质量无关.

3.3 从不同高度静止释放小球会有不同的运动轨迹

选取4个不同的高度静止释放小球，得到了图6所示的4种不同的运动轨迹，当高度较高，进入圆形轨道的初速度较大时，轨迹为完整的圆，如图6(a)所示；当高度逐渐降低，初速度减小时，小球只能做部分的圆周运动，到达某一高度后会脱离轨道斜抛出去，且初速度越小，抛出点越低，如图6(b)、(c)所示;当高度降低至某一程度，小球不能到达半径为R的高度，沿着轨道返回,如图6(d)所示.

(a) h=0.290 0 m

(b) h=0.240 0 m

(c) h=0.190 0 m

(d) h=0.110 0 m

表2 不同高度静止释放时小球脱离时刻对应的物理量

3.4 计算与圆形轨道等高位置静止释放时小球的脱离点速度

将小球从与圆形轨道等高的位置静止释放，根据前面所述的实验步骤，同理可得小球的脱离点速度为vc=0.704 5 m/s，并与通过式(6)计算的理论值0.694 9 m/s作比较，相对误差为1.4%，大致相等.

4 小结

Video Physics是一款具有追踪目标物体，可以实时显示目标物体位置，记录物体的速度，描绘物体运动图像等功能的智能手机App.本实验用该App研究了在竖直平面内的圆周运动，定量地分析了不同质量小球在同一高度静止释放到达圆形轨道最低点的速度关系和小球从不同高度静止释放过程中的速度与运动轨迹的关系，并计算出小球在圆形轨道上运动时的向心力、角速度，以及小球从与圆形轨道等高位置静止释放时小球的脱离点速度.

运用Video Physics App可以使小球在竖直平面内的运动情况更加直观地呈现给学生，为课堂教学带来了便利，加上智能手机便于携带、使用率高的优势，如果将该App灵活运用到课堂教学中，有利于培养学生的科学思维和科学探究能力，激发学生的学习热情和兴趣，从而助力于培养学生的物理学科核心素养.