利用手机传感器研究变化磁场中的单摆运动

刘利澜 李德安

(华南师范大学物理与电信工程学院 广东 广州 510006)

测单摆周期并计算重力加速度是大学普通物理实验的重要内容,由于传统实验中利用秒表测单摆周期的方式存在较大的不稳定性，有研究者尝试借助DIS传感器测单摆周期[1,2]，但该类仪器成本较高.在测周期实验中，更创新的方法是通过手机传感器记录运动中物理量随时间变化的情况，通过分析峰值间的时间间隔获得运动周期.如利用加速度传感器记录弹簧谐振时加速度峰值的时间间隔[3]，用磁强计记录匀变速直线运动中磁感应强度峰值的时间间隔等[4].

智能手机中的传感器功能丰富逐渐应用于物理实验中[5～11].本文通过手机传感器测峰值间的时间间隔获得周期的方式，设计了两个单摆实验.通过磁传感器记录空间中磁场强度随时间变化的情况，测得简谐运动的周期从而计算重力加速度.在常规单摆实验的基础上，拓展研究磁场对单摆周期的影响，通过光线传感器记录磁铁在不同位置时单摆的运动情况，定性地分析变化磁场中单摆周期的变化趋势.

1 理论背景

在单摆摆角较小(θ<5°)时,单摆的运动可近似看作简谐振动.简谐振动动力学公式

(1)

在没有附加外力的作用下，单摆只受重力和拉力的作用，重力的分力提供回复力如图1所示.

图1 摆球受力作用示意图

(2)

其中，l为摆长(悬点到球心的距离)，联立式(1)、(2)，可推导出单摆周期的公式

(3)

重力加速度表达式

(4)

当单摆只在重力场中运动时，回复力由重力的分力提供.如果在竖直平面上，对摆球施加一个作用力，由牛顿第二定律知，单摆的回复力将改变.有外力作用的情况下，式(3)可表示为

(5)

其中a表示施加外力对单摆周期的影响.例如，当摆球摆到图1中位置时，重力的分力沿圆弧切线方向，如果对摆球施加的外力F1沿圆弧切线方向的分力指向平衡位置时，a为正，单摆周期减小；如果对摆球施加的外力F2沿圆弧切线方向的分力背向平衡位置时，a为负，单摆周期增大.

2 利用手机传感器设计单摆实验

立足传统单摆实验，设计了利用手机传感器研究单摆实验的新方法，借助磁传感器测量单摆的周期并计算重力加速度，借助光线传感器定性地分析了变化磁场中单摆周期的变化情况.

2.1 磁传感器测量单摆重力加速度

将磁铁固定在摆球下端，智能手机固定在摆球平衡位置的最下方，如图2所示，磁铁随摆球摆动时，空间中的磁场强度发生变化.打开手机磁传感器(Phyphox Magnetometer)，记录摆球摆动时空间中磁场的变化情况，单摆运动具有周期性特点，故手机磁传感器接收到的磁感应强度也呈现周期性变化.导出并处理磁传感器记录的实时数据，可根据磁场峰值的时间间隔获得单摆运动的周期T，如图3所示.

图3 B-t图

利用如图2所示的装置，选取初始摆角为3°，在0.7～1 m之间，依次改变摆长,一次增加5 cm，共选取7个摆长，用磁传感器记录不同摆长时空间中磁场的变化情况,每个摆长对应的周期测量3组数据，每组数据中选取20个峰值计算平均周期，数据记录如表1所示.

表1 摆长与周期数据记录

用Origin软件拟合摆长(l)与周期平方(T2)的关系图,如图4所示，其拟合关系式为

T2=4.066l

从图像中可以看出采集的7个数据几乎都落在直线上，其斜率

k=4.066 s2/m

拟合相关系数

r=0.999 0

图4 T2-l的拟合图像

斜率的不确定度

σk=0.074 s2/m

利用式(4),可计算出重力加速度

g=9.709 m/s2

重力加速度g的不确定度

(6)

得

σg=0.177 m/s2

故实验测得的g=9.709±0.177 m/s2，广州当地的重力加速度为9.788 m/s2落在实验的范围[9.532，9.886]内，本实验相对误差

利用磁传感器测重力加速度的相对误差较小，结果较准确，借助手机传感器将简谐运动可视化，突破了传统实验中无法观察到单摆做简谐运动时在空间中的运动轨迹的难点，该方法为实验教学提供了新思路.

在开展实验时应注意，手机感应到的磁感应强度在1 000 μT以下为宜，避免过强的磁场损坏手机，因此，选取普通的磁铁开展实验且手机应与磁铁保持一定的距离(本实验中，磁铁与手机间距为4 cm)；同时为避免金属对磁铁产生影响，应选取非金属架悬挂带磁铁的摆球，以减少实验误差.

2.2 光传感器研究磁场对单摆周期的影响

在单摆下方放置一块磁铁，摆球和磁铁间存在引力，即可看成对摆球施加了一个周期性作用力，该作用力会影响摆球的回复力.改变磁铁的位置，摆球受到的磁铁的作用力会发生变化，由式(5)可知，变化的力对单摆周期产生不同的作用效果.打开手机光线传感器(Phyphox Light)，当放置在光源和智能手机间的摆球摆动时,光线传感器接收到的光信号发生变化.单摆的摆动表现为周期性，故手机接收到的光信号也呈现周期性的变化.处理光线传感器记录的图像和数据，可获得单摆的运动周期.

图5 变化磁场中的单摆实验装置图

利用图5的单摆实验装置，选取初始摆长l为70 cm，摆角为3°，在摆球下方放置一块圆形小磁铁，在桌面上水平放置一条塑料直尺，摆球沿着直尺方向摆动.记磁铁到摆球最低点的水平距离为d，单摆运动周期为T，无磁铁时，T=1.682 s.以磁铁在摆球最低点(平衡位置)正下方为初始位置，记为0 cm.从0 cm开始，沿同一水平方向每隔0.5 cm移动一次磁铁.记录磁铁在不同位置时对应的单摆周期.在多次实验过程中发现，当磁铁移动到与摆球距离足够大后，磁场对单摆运动的影响很小，所以当磁铁移动到9 cm后，每隔1 cm移动一次磁铁，观察远距离的磁铁对周期的影响.磁铁位置与单摆周期数据记录如表2所示.

表2 磁铁位置与单摆周期

利用表2 中记录的实验数据，绘制单摆运动周期(T)随磁铁位置(d)变化的图像,如图6所示.

图6 T-d拟合图像

由图1可知，摆球摆到最高点与最低点的水平距离公式为

d0=lsinθ

(7)

其中l是摆长，θ为摆角.用米尺测量得摆长

l=70 cmθ=3°

计算得

d0=3.66 cm

T-d的拟合曲线(图6)可以看出，单摆周期随磁铁距离的增大呈现先增加再减小后趋于平缓的变化趋势.分析图像可知在受磁场作用下的单摆运动有以下特点：

(1)当磁铁放在摆球最低点正下方时，单摆受磁铁作用力沿圆弧切线方向的分力均指向平衡位置，均正向作用于单摆的回复力，加速度a>0,且为最大值.此时，单摆周期最小；

(2)将磁铁从摆球最低点的正下方移动到摆球最高点正下方的过程中，单摆受到的磁铁作用力沿切线方向的分力，部分指向平衡位置，部分背离平衡位置.随着磁铁距离的增加，磁铁对单摆回复力的正向作用逐渐减弱，反向作用逐渐加强，加速度a从正向最大逐渐减小到零后再反向增大，故单摆运动周期随磁铁距离的增大而增加；

(3)磁铁移动到摆球最高点正下方时，磁铁对单摆回复力的反向作用力与正向作用力差值最大，即反向的加速度最大，此时，单摆周期取得最大值；

(4)将磁铁从摆球最高点正下方继续向外移动，磁铁与摆球的距离逐渐增大，磁铁对单摆回复力的反向作用减弱，单摆运动周期减小.当磁铁与摆球的距离增大到一定程度后，磁铁对单摆的影响几乎可忽略时，单摆恢复自由摆动，单摆运动周期与不放磁铁时周期相近.

由以上分析可知，给单摆外加的作用力会与重力共同影响单摆的回复力，对摆球施加不同的力，对单摆周期的影响也不同.有研究者通过理论分析,探究非均匀磁场中的单摆运动规律[12].但在实际情况中，磁铁在空间中的磁力线分布难以用简单的图像准确描绘，在变化的磁场中的单摆运动也难以用简单的公式分析.因此，通过实验的手段定性地分析了有磁场作用时单摆的周期变化情况，为学习者创造探究学习的情境，未来，学习者可设计其他科学探究实验，定量地总结单摆受外加变力作用时的周期变化情况.

3 结束语

设计了利用手机传感器测量单摆运动周期的新方法，丰富了单摆实验研究的广度，拓宽学生在单摆实验中思考的宽度.实验表明在单摆实验中引入磁力传感器记录简谐运动的周期，并测得重力加速度的方法准确可靠.在研究变化磁场中单摆运动周期实验中，通过外加磁场的方法改变单摆回复力，利用手机光线传感器测量不断调整磁铁的位置后，单摆周期的变化情况，从实验的角度拓展了变力作用时单摆运动的情况.

利用手机传感器开展的实验不仅能增加实验的趣味性，还能为物理实验研究提供新思路.手机传感器功能丰富多样，为开展创新的物理实验提供更大的便利和自由[13].在将来，手机传感器运用在物理实验方面的探索会有更进一步的发展.