基于NSST与Hessenberg分解的零水印算法

薛宏飞，迟万达，刘晓欣

（山东科技大学，青岛 266590）

0 引言

随着数字化和网络化进程的推进，数字媒体的安全性以及版权保护问题日益突出，数字水印作为版权保护的一种有效解决方案成为研究热点[1]。传统数字水印算法是在原始载体图像中加入私有的版权信息[2]。零水印则突破了传统方式，它利用提取的载体图像特征与私有版权信息生成零水印，这种非嵌入的方式从本质上解决了鲁棒性与隐蔽性之间的均衡问题。

自其概念提出以来[3]，在众多学者的推动下，零水印算法一直在发展前进。杨鹏[4]提出了一种利用DCT系数正负符号来构造零水印特征矩阵的算法，该算法提出相位信息对于图像理解更为重要，以频域系数符号反映相位信息从而构建过渡矩阵。结果表明其对于小幅度旋转与其他攻击等抵抗性较强。朱春伟[5]等提出一种结合Contourlet变换和Schur分解的数字零水印算法，利用子块Shcur分解的最大特征值构造零水印，实验数据表明该算法对于抗旋转与压缩攻击效果更好。文献[6]提出一种结合NSST和直方图的数字音频水印算法。算法使用直方图方法在原始音频信号NSST变换后的低频子带中加入水印。文献[7]提出了采用Hessenberg分解的Contourlet变换域图像盲水印算法，它通过量化的方式把水印信息嵌入到上Hessen⁃berg矩阵的最大值元素中，算法鲁棒性表现较好但在鲁棒性与隐蔽性的平衡方面仍有待改善。近年来QR码技术[8-9]有着信息容量大、容错率高等优点也逐步应用于数字水印算法中。文献[10]中将电商的店铺ID与商品的URL生成QR码作为水印嵌入商品图片中，展现出了QR码水印较高的实际应用价值。

本文以当前的零水印算法研究为基础，提出了一种基于NSST变换和Hessenberg分解的鲁棒性更强的零水印算法。算法将彩色图像转换到CIElab色彩空间[11]中，并对其L分量非下采样剪切波变换（Non Sub⁃sampling Shearlet Tansform，NSST）的低频子带采用DCT变换，然后把DCT频谱执行分块及Hessenberg分解，由各子块H矩阵最大值构建的特征矩阵与QR码加密水印结合生成零水印。实验测试表明，对于剪切、压缩、噪声、滤波和旋转等单种攻击以及组合攻击下本算法鲁棒性较强，尤其在抗旋转、剪切攻击情况下效果更加突出。

1 零水印生成算法

零水印算法的关键是从原始图像中提取出稳定不变的特征，并基于此特征与加密信息生成零水印。本文的零水印生成算法基于NSST、DCT及Hessenberg分解，提取的特征具有较好的几何不变性，算法原理如图1所示。假设彩色载体图像尺寸为N×N，以版权方信息生成的QR码二值图像尺寸为（N/8，N/8），零水印的生成详细步骤如下：

（1）根据版权信息生成QR码并对其采用Arnold置乱[12]算法加密，得到加密水印W；

（2）把彩色载体图像转换到CIELab色彩空间，提取出其中的L分量；

（3）对L分量进行一级NSST分解，把低频子带DCT频谱分割成尺寸为8×8的互相不重叠的子块，记为Di，j（i，j=1，2，...，N/8）；

（4）对每个子块进行 Hessenberg分解，如下式表示：

其中，Qi，j为各子块 Di，j分解的酉矩阵，Hi，j为其上Hessenberg矩阵；

（5）提取各子块 Hi，j最大值元素记为 hijmax，并利用hijmax构造（N/8）×（N/8）大小的过渡矩阵 T，即 T（i，j）=hijmax，其中（i，j=1，2，…，N/8）；

（6）将过渡矩阵T中各元素分别与其均值Tmean进行比较形成二值特征矩阵F：

（7）将加密水印图像W与构造的特征矩阵F执行异或操作生成零水印Z，并放至第三方认证中心注册保存，作为版权认证的依据。

其中，“⊗”为异或操作。

1.1 NSST变换

剪切波变换（Shearlet Transform，ST）是剪切波与信号的内积。剪切波是一个基本函数通过仿射变换（伸缩、剪切和平移等）所产生的函数，能较好地表达二维甚至多维空间上曲线的特征，解决了传统小波变换无法实现最优线性误差逼近的问题[13]。连续的Shearlet变换可表示为：

式中，x为自变量；j和l分别为尺度参数和方向参数，k为平移参数；det表示矩阵行列式，A、B均为可逆矩阵，Aj表示尺度变换矩阵，Bl表示区域面积不变的几何变换矩阵。在频域中，不同特性的剪切波ψj,l,k表示为相对原点互相对称的梯形对，如图2所示。

图1 零水印构造过程

图2 Shearlet频域剖分图

非下采样剪切波变换[14-15]（NSST）是对剪切波变换的改进。它采用非下采样金字塔滤波器组（Non-sub⁃sampled Pyramid，NSP）获得图像的多尺度分解，然后利用改进的局部剪切波滤波器对高频子带图像进行方向局部化。NSST去掉了传统ST中的下采样操作，使分解后的各子带图像与原图像尺寸相同，不但具有良好的频域局部化特性，并且具有平移不变性。图3为二级NSST分解示意图。

图3 二级NSST分解示意图

1.2 DCT 变换

离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）[16]是一种正交实数变换。设图像为f（x，y），大小为M×N，其DCT变换可表示为：

1.3 Hessenberg分解

对于n阶方阵A，其Hessenberg分解[17]为：

其中，Q为酉矩阵，QT为Q的转置矩阵；H为上Hessenberg矩阵，即设h(i,j)为 H矩阵的元素，h(i,j)∈Rn×n，当i＞j+1时h(i,j)=0 。

Hessenberg分解是QR分解[18]的中间步骤，加之QR分解的计算复杂度低于SVD分解[19]，因此相对其他分解方法，Hessenberg分解的计算复杂度较低，本文将其应用于零水印技术可提高算法的执行效率。

2 零水印检测算法

在进行认证版权时，将待检测图像提取的特征矩阵与第三方保存的零水印异或得到加密信息，之后通过解密和解码获得版权私有信息。零水印检测过程为图4所示，详细步骤如下：

（1）将待检测彩色图像转换到CIELab色彩空间，其L分量记为L*；

（2）对L*进行一级NSST，对其低频子带进行DCT并将频谱分成尺寸为8×8的互不重叠子块；

（3）将每个系数子块进行Hessenberg分解并提取各子块H*矩阵最大值元素构造过渡矩阵T*；

（4）将过渡矩阵各元素分别与其均值进行比较形成二值特征矩阵F*；

（5）把第三方认证中心保留的零水印与特征矩阵F*进行异或生成QR码加密水印，之后进行反置乱及QR码解码获得版权信息从而验证版权。

图4 零水印检测过程

3 实验结果与分析

本文实验在MATLAB R2014a平台进行。原始彩色图像来自CVG-UGR图像库，其大小为512×512。水印图像为“科技大学版权水印”字样生成的QR码二值图像，实验中Arnold置乱数目为12。

实验效果评价标准采用峰值信噪比（Peak Signalto-Noise Ratio，PSNR）和归一化相关系数（Normalized Cross-Correlation，NC）。PSNR表现了原图像与受攻击后图像的差异，象征了攻击的强度，其数值越小则说明攻击强度越大，破坏性越强。NC值表示将原始水印与遭受攻击后图像得到的水印之间相似程度的大小，用来衡量算法的鲁棒性，其值越大说明提取的水印效果越好，即具有越强的鲁棒性。

3.1 算法鲁棒性测试

实验以Lena作为测试图像，分别在旋转、剪切、噪声、JPEG压缩等常见攻击下及组合攻击下进行了鲁棒性测试，，算法鲁棒性由PSNR、NC及最终QR解码共同来判断。实验结果如表1所示，总体上看，在图像经攻击后本文算法依然可以有效提取水印，NC值均达到0.99以上，且提取出的QR码能正常解码还原出私有版权信息，实验结果表明本算法有着较强的鲁棒性。

表1 鲁棒性实验结果

3.2 对比实验分析

本文在不同形式、不同强度的攻击下与文献[20]和文献[21]两种相近算法做了对比实验。文献[20]算法是对图像进行小波变换及SVD分解，以子块最大奇异值的奇偶构造特征矩阵，进而生成零水印。文献[21]算法是将载体图像NSST变换后的低频子带进行分块和QR分解，以R矩阵第一行数值的L1范数构造特征矩阵。本文算法将NSST变换后低频子带进行DCT使得能量更加集中，并通过更低计算复杂度的Hessenberg分解的方式构建零水印，以实现更高的执行效率与更强的抗攻击性能。表2中列出了本文算法与两文献算法的对比实验结果。

表2 与相近算法对比实验结果

由表2结果可看出，本文提出的算法在剪切、噪声、旋转以及JPEG压缩等常见攻击下NC值较两文献均有较大的提升，其中在抗旋转与抗剪切攻击下表现更优。图5和图6分别给出了旋转与剪切攻击下更全面的对比结果。图5是旋转角度逐渐增大时水印提取效果，从图中可看出本文算法在旋转角度较大时依然具有较高的鲁棒性，提取水印效果较对比文献更好。图6显示的是在不同位置、不同比例剪切攻击下三种算法NC值的变化，可看出本文算法在剪切攻击下的NC值明显高于对比文献算法，表现出了更强的抗剪切能力。

图5 旋转攻击对比实验结果

图6 剪切攻击对比实验结果

4 结语

本文基于NSST变换、DCT变换与Hessenberg分解的良好特性，提出了一种更加鲁棒的QR码零水印算法。算法通过对载体图像进行NSST变换、DCT变换、分块Hessenberg分解等操作构造特征矩阵，并结合QR码形成零水印。本文算法具有水印双加密、低计算复杂度、不可见及抗攻击性强的特点。实验结果表明，本文提出的算法在对原始图像进行噪声、滤波、JPEG压缩、剪切以及旋转等简单攻击和组合攻击时鲁棒性都较强，与相近算法对比，在抗旋转及抗剪切攻击时优势更加显著。