物体在地球隧道中的运动

吴岱宗 刘玉颖

(中国农业大学 1工学院； 2理学院，北京 100083)

图1 地球隧道示意图

地球隧道，顾名思义，是指一条穿行于地球内部的隧道(如图1所示)。“假想在地球内部钻一隧道通过地心到达地球另一侧，试分析物体距地心为r时物体所受到的引力，若物体掉入洞中，且假设没有摩擦力，该物体将做何种运动？该物体从一侧到达另一侧的时间为多长呢？”[1]。 本文从一道习题出发，进行以下探究。 首先，如果认为地球是一个匀质球体，根据质点在地球内部的受力情况，证明了物体在地球隧道中的运动是简谐振动。 由简谐振动的运动特点，得出物体的运动周期和最大运动速度。 基于物体沿着直径隧道的往返运动，我们又扩展到若物体在通过一条弦线的隧道时，运动周期有无变化？本文对此进行了详细的推导。 真实的地球并不是匀质球体，根据地质测量数据，本文中，我们重新建立地球模型探究物体在隧道内的运动情况，得出了物体运动周期和最大运动速度与理想情况下存在差异。通过Matlab绘制运动图像直观地比较了物体在两个模型中的运动情况。

1 地球重力分布

先讨论较为简单的理想情况，即：设定地球是一个质量分布均匀的球体。

牛顿在其著作《自然科学的数学原理》中是这样论述地球外部的重力的：在地球外部，物体所受的地球重力符合万有引力定律[2]，即

(1)

其中，G是万有引力常量，G=(6.674×10-11±0.003)N·m2/kg2[3]；M表示地球的质量；m代表所研究物体的质量；r是物体与地球球心之间的距离。……