浅谈如何利用几何画板助解中考动点题

摘 要：几何画板在数学教学及解题中具有灵动的优越性，为数学教师的主导和学生快捷高效学习提供了五彩缤纷的舞台。利用几何画板来解决动点类型的中考题，不仅具有明显的效果，更能培养学生的数学品质，提高解决问题的能力。

关键词：几何画板;助解;动点题;提高能力

本文列举了初中常见的数学思想方法，分析了中考动点题，以数形结合思想为基础，将中考动点题分为求动点的轨迹、求动点问题的函数关系和图像、求动点中的最值问题以及求动点的存在性问题等四大类型并利用几何画板来分析解题思路，突破了重难点，彻底消除动点题的障碍，从而不断提高数学成绩，并能借此激发学生学习数学的兴趣，培养数学思想方法和创新精神，提高学生数学思维敏捷度和探究、解决问题的能力。

一、 数学思想方法

数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是解决数学问题的根本策略，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学的精髓。这一方法在教学中一定要注重培养，并在解题中不断提炼，达到触类旁通的目的。解中考题常用到的数学思想方法有：整体思想、转化与化归思想、方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等。

其中，数量关系和空间形式，即数和形，是初中数学教学中的两大主要基本内容。数形结合思想贯穿于整个中学数学教材体系之中，它是几大核心的数学思想方法之一。“由数思形，由形探数，以形助数，用数解形”揭示的就是数形关系。在传统的教学中，由于各种教学条件的限制，数和形极难灵活完美地结合，特别是某些隐藏在变动图形之中的数或形很难挖掘出来，但利用几何画板却是轻而易举。所以几何画板可以将数形结合表现得淋漓尽致，几近完美。

二、 题型特点

以运动的观点探究图形变化规律的试题称为动态题，是探究在图形的运动中，出现某一特定图形位置或运动中所形成的图形、数量关系的“变”与“不变”性的试题。其中每一年各省市的中考题中，动态题中的动点类型的试题居多。因为动点题灵活多变，动静相融，命题的设置常带有开放性、不变性、操作性和探究性，动点题能较好地融合分类讨论、数与形、转换与化归、方程与函数等数学思想，还能与代数中的不等式、三角函数知识，几何中的三角形、四边形、圆、图形的全等和相似等相结合，综合性和灵活性比较强，能深刻地考查学生基础知识的掌握及解决问题的能力，所以这也是中考中较难的一类题。但对于此类题，许多学生感觉到无从下手，找不出那些不变的量以及变量，变量又是如何变化的。

三、 助解探究

下面我就结合自己的教学实践，列举利用几何画板助解中考题中的动点题。从中体会几何画板在解动点题中的作用。

（一）追踪点的轨迹

在初中阶段，动点的轨迹主要有直线段、直线、三角形、四边形、圆弧、圆等。

例1 如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设点A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为    。

思路分析：根據题意用几何画板作出图形，设置了追踪点A1和点Q，拖动点P沿AD滑动，即可显示出点A1和点Q的运动路径（如图2），从而可进一步解得点Q的运动路径长为33π。

（二）动点问题的函数关系和图像

点变动，线、面随之改变，但中考中考查的却是有规律地变化，而且是涉及两个变量的数量关系的变化，它们主要对应着一次函数、反比例函数和二次函数。

例2 如图3，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F。设BE=x，CF=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图像是（  ）

思路分析：（1）图中点E在运动过程中，△ABE与△ECF有什么关系？（2）根据分析先画出函数的大致图像，然后借助几何画板的演示，拖动点E可以观察到x和y的变化，由△ABE∽△ECF得，yx=4-x5，由此可知A正确。

（三）动点问题的最值

这种类型的问题，一般是动点运动到某个特定位置时，线、角、面能取到最大值或最小值。借助几何画板能够使学生快速找到并求得最值。

例3 如图4，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与AC，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是（  ）

A. 4.8

B. 4.75

C. 5

D. 6

思路分析：此题中，动圆的圆心、半径都不确定，学生完成此题的难度较大，但借助几何画板，就可以很轻松解决这道题了（如图5）。∠C=    ，因此PQ为圆的直径，那么PQ=CO+OF，拖动点F，当点OF在CD（AB边上的高）上时，圆的半径最小。此时PQ的最小值是4.8，A正确。

例4 如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（  ）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

思路分析：在几何画板中设置了跟踪点P的轨迹，拖动点A′，即可直观地察看出，当PM在BC的延长线上时，取得最大值，同时也清楚地观察到各量的变与不变及大小关系（如图7），从而易知B正确。

（四）存在性问题

在动点中，要求是否存在某一动点，使得一个数量关系式成立或图形符合要求，这种类型的中考题在这里称为存在性问题。这种题往往作为中考的压轴题。

例5 （2017·贺州）如图8，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（-4，0），抛物线的顶点为点D。

（1）求抛物线的解析式;

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标;

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标;若不存在，请说明理由。

思路分析：（1）由A、C两点的坐标和△ABC为等腰直角三角形可以确定点B的坐标，进而求得抛物线的解析式y=-x2-2x+3;（2）度量EF并拖动点E带动直线EF（如图9），可以观察出EF何时取得最大值，并让学生感受在数形结合下体验数学建模。从数量上分析，设点F（x，-x2-2x+3），则E（x，x-1）（点E是EF与yAB=x-1的交点），所以EF=-x2-2x+3-（x-1）=-x2-3x+4=-x+322+254;（3）在EF最大处，拖动点P，从而改变点P的位置，使学生深刻认识点P的存在性（P、P1、P2的位置，如图10）。

四、 助解作用

1. 不借助教学软件，教师用笔、直尺、三角板等工具在黑板画图形来讲解中考动点题，不仅耗时费力，学生如果没有非常强的数学思维的话，必定难以理解，而且效率低下，与科技信息时代的方便快捷高效等特征極不相称，不利于数形结合等思想的培养。而几何画板，备课时做好动点变化图形后，上课便可将动点的变化过程表现出来，学生就会直观地观察到图形运动的过程，为学生提供一个方便快捷又高效的探究舞台，将原来很复杂的问题简单化，简化了解题过程，提高了学习效率。

2. 对于动点题，学生百思不得其解，思维不能突破时，利用几何画板动点演示，可以激发学生去发现哪些是变量和不变的量，变量又是如何变化的，从而去探索、发现、总结规律，抓住不变的实质，突破动点问题的难点，巧妙地解出来。因此，往往能激发学生学习数学的兴趣，增强其学习的信心。

3. 学生通过动手演示，动画变形，不断地探索，不仅培养了学生敏捷的思维，同时培养学生主动探索研究、动手操作实践的能力，也能培养学生创新精神和创造能力，不断提高学生解决问题的能力。

参考文献：

[1]朱书乐.几何画板在初中数学教学中的应用研究：以函数教学为例[J].中小学电教，2019（3）.

[2]范云波.几何画板在中考动态问题教学中运用的探究[J].中学数学研究，2016（5）.

[3]崔守梅.例谈几何画板在数学实验中的应用[J].中小学教育，2018（310）.

作者简介：岑家海，广西壮族自治区贺州市，广西贺州市八步区大宁镇初级中学。