基于动态广告效应的两周期闭环供应链研究

李亚玲，胡宝安，李梅英

（陆军军事交通学院 基础部，天津 300161）

1 引言

工业的发展给人类生活带来了翻天覆地的变化。尤其近十几年来，产品的极大丰富以及快速的更新换代、互联网以及物流的迅猛发展，除了给人们带来生活的便利以外，也由此引发了一系列严重的环境污染、资源浪费问题。随着人们环保意识的增强，环境、资源问题的日益严重，政府也出台了一系列节约使用资源和保护环境、建设生态文明的政策鼓励回收废旧商品。国办发〔2011〕49号文件《国务院办公厅关于建立完整的先进的废旧商品回收体系的意见》已于2011年11月4日发布实施。十八大上，“生态文明”理念被提升为国家战略。十九大报告指出坚持节约资源和保护环境的基本国策。在国家未来发展计划中，环境被放在更重要的位置。废旧商品的回收循环利用和再制造不仅带来良好的环保效益、资源节约效益、社会效益，同时对于供应链中的各个主体—制造商、零售商、第三方和消费者来讲，也具有很大的经济价值。在这些因素的推动下，更多的学者开始关注对闭环供应链的研究[1-4]。一些实证研究也已经强调了闭环供应链对经济和政府工作的重要性[5-6]。

闭环供应链是由正向供应链和逆向供应链构成的一个闭环结构，使所有物料都在其中循环流动，实现对产品整个生命周期的有效管理，从而实现经济效益的提高以及环境的改善[7]。正向供应链包括物料的采购、新产品的设计、研发、生产、销售以及售后服务；逆向供应链包括废旧产品的收购、初检处理、测试、分类、翻新、修复、再配送、再销售或报废处理等环节。而闭环供应链产生的必要条件之一就是回收再制造的成本要比用全新的原材料进行生产的成本要低[8]。Savanskan,Bhattacharya,＆Van Wassenhove已于2004年讨论了由单一制造商、零售商和第三方组成的闭环供应链由三方分别回收的情形，其中需求函数为零售价格的线性函数[9]，该需求函数也是目前闭环供应链中应用最为广泛的一种需求函数。Onur Kaya（2010）考虑到再制造产品和新产品在进入市场时是有区分的并且需求随机，并在这样的前提下探讨了部分需求替代下的闭环供应链最优策略[10]。Shi等（2011）基于市场需求的不确定性以及回收的不确定性并假设再制造产品和新产品无差异，研究了闭环供应链系统利润最大化的最优策略[11]。考虑到市场需求、再制造成本和回收成本具有模糊性，Wei J，Zhao J（2011）运用博弈理论和模糊理论探讨了零售商之间具有竞争情形下的闭环供应链的定价问题[12]。基于市场需求、逆向供应链中回收商品的数量、质量等的不确定性，He Y（2016）运用供应链契约理论讨论了4种不同的供应链风险分担合同下对供应链的管理问题，并指出供应风险以及需求风险的降低对供应链的经济和环境预期的影响[13]。很多对供应链的研究中，更多考虑市场需求受到零售价格的影响，而广告投入在打开产品知名度、扩大市场规模上的作用同样不容小觑，同时影响到供应链的定价策略以及成员的利润。Yi Yu-yin（2013）探讨了广告对决策效率以及协同绩效的影响[14]。Vinay Ramani,Pietro De Giovanni（2017）基于戴尔再联接项目，分别讨论了制造商不进行广告投入以及进行广告投入两种情形下的具有内源性回收的非典型性两周期闭环供应链问题[15]。

考虑到现在售出的产品在将来才会回收回来的动态过程，很多学者会选择两周期闭环供应链模型。Gu Q，Gao T（2009）区分了新产品以及废旧产品所处的不同流通周期，建立了两周期模型，强调新产品的销售处在第一周期，废旧产品的回收应在第二周期[16]。Pietro De Giovanni，Georges Zaccour（2014）讨论了废旧产品的回收由再制造商决定是自己独立回收还是外包给零售商或第三方回收的问题中，同样建立了两周期的闭环供应链模型[17]。另外，Ferguson ＆ Toktay（2006）[18]、Ferrer＆ Swaminathan（2010）[19]、Genc＆De Giovanni（2017）[20]同样建立了两周期闭环供应链模型来探讨市场策略以达到最优利润。

不仅闭环供应链中从销售到回收是一个动态过程，同时考虑到人的记忆会随时间的增长出现衰退，广告的效果随时间逐渐减弱，因此商家需根据遗忘规律反复宣传增强消费者的记忆，牢固建立品牌的地位，这也是一个动态的过程。基于这样的动态过程，本文应用Stackberg博弈理论建立了基于动态广告效应的两周期闭环供应链模型，并给出了制造商主导且由制造商回收的单渠道模式下的最优策略。然后在算例中确定了给定参数下供应链决策变量的最优数值解，并运用matlab仿真，比较分析了长、短期广告敏感度对最优批发价、最优零售价、周期市场需求、制造商和零售商的最优周期利润和总利润、周期投入广告水平以及回收率的影响。

2 问题描述及模型建立

本文考虑的闭环供应链中包含一个制造商M和一个零售商R。在正向供应链中制造商生产产品并以批发价格卖给零售商，零售商以零售价格将产品卖给消费者，制造商在两个周期中均投入一定的广告来提高产品知名度，从而增加产品销量和提高废旧产品的回收率。在逆向供应链中，制造商直接回收已卖出的产品进行再生产。

假定供应链成员在满足一定的条件后，均以追求个人利润的最大化为原则。为了模型的建立，对符号进行约定（见表1），同时还需做出以下假设：

（1）制造商和零售商关于市场的信息对称，面对的是完全竞争市场。

（2）制造商按订单生产，没有存货成本，且可以满足市场的产品最大需求。

（3）废旧产品处在其生命周期内，有剩余价值并且可以被回收再制造。

（4）制造商利用原材料生产和利用废旧产品回收再生产出的同一种产品无差异，市场认可度一致。

（5）零售商独立销售。

变量αβwt It n pt cgΔIMAt符号说明市场规模消费者对价格的敏感度第t周期的单位产品批发价格第t周期的单位产品零售价格单位产品生产成本单位废旧产品回收价格回收再生产单位产品节约成本制造商废旧产品回收投资第t周期投入的广告水平第t周期的广告效率短期广告敏感度变量n1 τM CL Dt πM1 πM2 πR2 πR1 ΠM ΠR δ符号说明长期广告敏感度制造商废旧产品回收率回收率和回收投资之间的换算系数第t周期的产品需求制造商第一周期利润制造商第二周期利润零售商第二周期利润零售商第一周期利润制造商利润零售商利润第二周期利润的折扣因子

用t=1，2来表示两个周期，Dt（t=1,2）表示需求函数。第一周期t=1中，为增加产品销量，制造商投入广告A1，因此需求函数不仅与市场第一周期的零售价格p1有关，与投入的广告力度也有直接的关系，此时需求函数为：

第二周期t=2中，制造商投入广告A2。不仅A2对市场需求有影响，第一周期投入的广告A1依旧对第二周期的市场需求产生影响，但是影响随着时间逐渐减弱。考虑到广告的这种动态效应以及需求与零售价格p2的关系，得到第二周期的需求函数为

其中，α为市场规模，表示消费者购买产品的最大数量，β表示消费者对价格的敏感度，且α＞0,0＜β＜1。 pt表示第t阶段的产品零售价，n,n1分别表示消费者对广告的敏感度，反映了广告投入在两周期模型中促进消费需求的动态效应。n＞0表示消费者对广告的短期敏感度，也就是当前广告对消费需求的增长作用，n1＞0表示消费者对广告的长期敏感度，也就是第一周期的广告对第二周期的销量增长产生的作用。由于消费者会随时间增长逐渐遗忘产品的广告内容，产生遗忘效应，因此当前投入的广告比第一周期投入的广告对销量的促进作用要大，因此，不妨假设n＞n1[15]。At表示第t阶段的广告水平（advertising effort）。广告投入的成本采用经典的二次凸函数的形式C(A)=，其中 I＞0表示tt广告有效率，显然第一周期的广告有效率比第二周期的广告有效率要高，因此假设I1＞I2。

第二周期产品回收过程中，考虑回收率τM是回收投资IM的函数[9]：

其中CL为回收率和回收投资之间的换算系数，且有0≤τM≤1。因此，

基于以上问题描述和假设，并在第二周期中的利润计算中，引入折扣因子δ（0＜δ＜1），得到制造商和零售商的利润如下：

在此模型中，假设制造商和零售商之间的博弈为非合作Stackelberg博弈，两个周期中均以制造商为主导，零售商为追随者。即制造商首先做决策，从自身利益最大化为出发点，先确定产品的批发价w1,w2、广告投入水平A1,A2和废旧产品回收率τM，然后零售商根据制造商确定的批发价、广告投入和废旧产品回收率来确定零售价格p1,p2。因此，制造商和零售商为达到各自利益最大的决策问题归结为一个最优化模型，如下：

结合以上论述和模型，通过逆向归纳法（backward induction method），我们可得到如下定理。

定理1 在制造商为主导基于动态广告效应的两周期闭环供应链模型中，当 βI2-n2＞0且CL＞δβ(Δ-g)2时，第二周期中零售商的最优零售价格为：

定理2 在制造商为主导基于动态广告效应的两周期闭环供应链模型中，当 βI2-n2＞0且时，第二周期中制造商的最优批发价格、制造商的最优广告投入水平和制造商的最优回收率分别为：

定理3 在制造商为主导基于动态广告效应的两周期闭环供应链模型中，当 βI2-n2＞0且时，第一周期中零售商的最优零售价格为：

定理4 在制造商为主导基于动态广告效应的两周期闭环供应链模型中，当 βI2-n2＞0且时，第一周期中制造商的最优批发价格和制造商的最优广告投入水平为：

其中：

将定理1-4的决策变量最优值带入到制造商利润函数（4）和零售商的利润函数（5）中，可以得到制造商利润的最大值为，零售商利润的最大值为以及最优决策下两个周期的市场需求，。

证明：通过逆向归纳法，定理1-4的证明分以下四个步骤。

（1）第二周期中，零售商以实现在该周期的利润最大化为目标确定其零售价格p2，归结为最优化问题：

对第二周期零售商利润函数πR2关于变量p2求导，一阶导数和二阶导数如下：

（2）第二周期中，制造商以实现该周期利润最大化为目标，确定其批发价格w2、广告投入水平A2和最优回收率τM，从而实现在该周期的利润最大化，归结为最优化问题：

将式（7）带入式（8），得：

对式（9）第二周期制造商利润πM2关于变量w2,A2,τM求导，一阶、二阶导数如下：

第二周期制造商利润函数πM2关于变量w2,A2,τM的Hessian矩阵为：

可得第二周期制造商的最优决策如下：

（3）第一周期中，零售商以实现其两个周期中的利润总和达到最大为目标，确定其零售价格p1，归结为最优化问题：

（4）第一周期中，制造商以实现两周期的总利润最大化为目标，确定其批发价格w1，广告投入水平A1，归结为最优化问题如下：

对式（15）中制造商总利润ΠM关于变量w1,A1求导，得一阶、二阶导数如下：

制造商总的利润函数ΠM关于变量w1,A1的Hessian矩阵为：

根 据 定 理 条 件 βI2-n2＞0 ，因 此 有8CL(4βI2-n2)＞0成立，二阶主子式的符号与分子一致，因此考虑：

可得制造商第一周期的最优决策如下：

其中：

综上所述，将式（16）代入到式（10）、式（11）和式（13）中，得到两周期供应链中制造商和零售商各决策变量的最优值如下：

3 算例分析

根据定理1-4成立的前提条件βI2-n2＞0且CL＞δβ(Δ-g)2，且有n＞n1≥0 ，I1＞I2≥0 ，取模型的参数如下：α=100，δ=0.8，β=0.6，CL=1 000，Δ=15，g=10，c=20，I1=1，I2=0.5。

3.1 长、短期广告敏感度确定条件下的模型最优解

取n=0.4，n1=0.3，求得长、短期广告敏感度确定下的最优解，见表2。

表2 长、短期广告敏感度确定下的最优解

从表2中可以看出，第二周期的批发价w2和零售价p2要高于相应第一周期的批发价w1和零售价p1，第二周期的投入广告水平A2也要高于第一周期投入的广告水平A1，第二周期的需求D2、制造商的利润πM2也高于第一周期的需求D1和制造商的利润πM1。也就是说，在第一周期制造商生产新产品并投入一定水平的广告，可以初步打开市场并建立一定的客户群体，而要达到两个周期整体利润最大，制造商需要在第二周期加大广告力度去扩大市场规模，虽然在第二周期中，由于回收再利用废旧产品使得生产成本下降，而广告大力度的投入使得总成本增加导致第二周期的批发价w2和零售价p2比第一周期有所上升，但需求的增加使得制造商第二周期的利润πM2高于第一周期利润πM1。但是对于零售商而言，两个周期的利润变化不大。

3.2 长、短期广告敏感度对零售价和批发价的影响

由图1和图2可以看出，零售价和批发价单调增加，两个周期的零售价均大于同周期的批发价并且零售价增长得稍快，同时第二周期的批发价、零售价不仅始终大于第一周期相应的批发价、零售价，而且要比第一周期相应的批发价和零售价增加得快。这说明消费者对广告越敏感，商品的价格越高，零售价与批发价的差值始终大于零并会随广告敏感度的增加有略微的增长，也就是零售商的单位商品盈利会有小幅增长。

图1 两个周期零售价p1,p2和批发价w1,w2与短期广告敏感度n的关系

图2 两个周期零售价p1,p2和批发价w1,w2与长期广告敏感度n1的关系

总体而言，相对于批发价，广告敏感度对零售价的影响更大；相对于第一周期的价格，广告敏感度对第二周期的价格影响更大。另外，图1中所有的曲线都要比图2中相应的曲线要陡，说明短期广告敏感度对价格的影响要比长期广告敏感度对价格的影响更大。

3.3 长、短期广告敏感度对制造商和零售商的周期需求和利润以及总利润的影响

图3 周期需求D1,D2与短期广告敏感度n的关系

从图3、图4中可以看出，两个周期的需求单调递增，第二周期的需求大于第一周期的需求并且第二周期的需求增长更快。这说明消费者对广告越敏感，市场需求就越大，同时在第一周期已经建立的客户群体基础上，第二周期新增加了部分客户群体，新增加的客户群体也随广告敏感度的增加而扩大。导致市场需求增加的原因，可能是由于价格的降低或者广告宣传力度的加大等。由图1、图2中已经分析得知第二周期的零售价高于第一周期的零售价，那么第二周期市场需求的增加更多受到广告投入力度加大的影响，同时第一周期的广告影响虽然在第二周期减弱，但仍有一定作用。总之，广告敏感度对两个周期的需求都有影响，但是对第二周期的市场需求影响更大。从图3、图4中也可以看出，短期广告敏感度对应的曲线要比长期广告敏感度对应的曲线要陡，说明短期广告敏感度对需求的影响要比长期广告敏感度对需求的影响大。

从图5、图6可以看出，制造商的周期利润均高于同周期零售商的利润；针对制造商和零售商的周期利润，长、短期广告敏感度均存在阈值，当广告敏感度小于阈值时，第一周期的利润大于第二周期的利润，当广告敏感度大于阈值时，第二周期的利润会反超第一周期的利润。也就是说，广告敏感度较低时制造商和零售商的主要利润在第一周期，当广告敏感度较高时，制造商和零售商的利润在第二周期，并且随广告敏感度的增大，第二周期的利润增加更快。由图5可知，随着短期广告敏感度的增加，制造商和零售商在两个周期的利润都会增加，但是第二周期利润增加更快。由图6可知，随着长期广告敏感度的增加，制造商第二周期的利润以及零售商两个周期的利润均会增加，但是制造商第一周期的利润会出现一定的下降。这说明长期广告敏感度越高，客户在近期对产品的关注度反而不高，同时制造商又有广告支出，从而影响到制造商第一周期的利润；但是对于零售商而言，广告会促进需求的增加，同时没有额外的广告支出，所以零售商两个周期的利润都处于递增状态，但显然第一周期的利润增加没有第二周期快。

图4 周期需求D1,D2与长期广告敏感度n1的关系

图5 制造商和零售商周期利润πM1,πM2,πR1,πR2与短期广告敏感度n的关系

图6 制造商和零售商周期利润πM1,πM2,πR1,πR2与长期广告敏感度n1的关系

图7 制造商和零售商总利润ΠM,ΠR与短期广告敏感度n的关系

图8 制造商和零售商的总利润ΠM,ΠR与长期广告敏感度n1的关系

图9 短期广告敏感度对两个周期的广告水平的影响

总之，长期广告敏感度的值较大时会对制造商第一周期的利润产生较大负作用，除此以外，长、短期广告敏感度对制造商和零售商第二周期的利润影响相对更大。另外，图5中所有的曲线都要比图6中相应的曲线要陡，说明短期广告敏感度对所有成员周期利润的影响要比长期广告敏感度的大。同时，针对阈值的存在，制造商可以据此调整广告投入策略以达到整体策略最优。

从图7、图8可以看出，制造商和零售商的总利润是单调递增的，并且制造商的利润要高于零售商的利润，但是随着广告敏感度的增加，零售商的利润会增加的更快，制造商和零售商的利润之差会越来越小。这说明，市场对广告的反应越灵敏，制造商和零售商获得的利润就越大，虽然是制造商进行的广告投入，而实际上零售商受广告灵敏度的影响更大。同时，短期广告敏感度对制造商和零售商的利润影响更大。

3.4 长、短期广告敏感度对两个周期广告水平的影响

由图9、图10可以看出，两周期的广告水平单调递增。当消费者对广告越敏感，广告促进销售增长的作用就越大，若只为达到同等的盈利水平，可以适当减小广告的支出，但是由图9、图10可知，当广告敏感度越大时，为达到供应链中各方盈利最大，制造商应提高长、短期广告水平。

图10 长期广告敏感度对两个周期广告水平的影响

由图9可知，存在短期广告敏感度阈值，当短期广告敏感度小于阈值时，第一周期投入的广告水平大于第二周期；当短期广告敏感度的值大于阈值后，第二周期投入的广告水平大于第一周期。这是由于广告在短期内扩大市场需求，提高盈利的作用比较大，基于第一周期的广告作用明显，为达到增加第二周期盈利的目的，制造商会在第二周期加大广告投入力度，因此第二周期投入的广告水平会相对增长更快。由图10可知，第二周期的广告水平始终高于第一周期，但随着长期广告敏感度值的增大，第一周期的广告水平增长的更快。这是由于广告长时间以后才能在市场体现出其作用，因此相对于第二周期的广告投入而言，要加大第一周期的广告投入。

总之，长、短期广告敏感度对于制造商投入两个周期的广告水平具有影响，但是短期广告敏感度对第二周期的投入广告水平影响更大，长期广告敏感度对第一周期投入的广告水平影响更大。制造商要想达到利润最大化，需要根据长期广告敏感度以及短期广告敏感度的取值大小合理分配两个周期投入的广告水平。

3.5 长、短期广告敏感度对回收率的影响

由图11、图12可以看出，回收率随广告敏感度增加而小幅度增加，相对而言短期广告敏感度对回收率的提高影响更大。由3.2-3.4节中的分析可以得知，批发价、零售价、市场需求、利润都随市场敏感度的增加而增加，这说明制造商利润增加的同时不仅需要大力投入广告扩大产品知名度，同时也需要提高回收率来降低成本。整体来看，短期广告敏感度对批发价、零售价、市场需求、利润的影响更大，因此也对回收率产生了相对更大的影响。

图11 短期广告敏感度对回收率的影响

图12 长期广告敏感度对回收率的影响

4 结语

考虑到合理的广告投入会对市场需求以及废旧产品的回收产生一定影响，但广告的作用会随时间产生弱化，制造商需要持续进行广告投入。为反映广告的动态效应，本文设立了两个参数—短期广告敏感度和长期广告敏感度，同时考虑闭环供应链中从销售到回收的动态过程，基于Stackberg博弈理论，建立了由制造商动态投入广告并且进行废旧产品回收的制造商为主导的单渠道两周期闭环供应链模型，并确定了该模式下的最优批发价、最优零售价、最优广告水平和最优回收率，最后在算例中确定了给定参数下的模型最优数值解，并运用matlab仿真，比较分析了长、短期广告敏感度对最优批发价、最优零售价、周期市场需求、制造商和零售商的最优周期利润和总利润、周期投入广告水平以及回收率的影响。随着市场敏感度的增加，两个周期的市场需求、最优批发价、最优零售价、最优回收率均增加，同时制造商和零售商的总利润会出现上涨，但是周期利润未必一定上涨，同时回收率的上涨幅度也较小。总利润的上涨更多得益于市场需求的增加以及废旧产品回收所节约的成本，但是通过回收废旧产品节约的成本并不能抵消制造商投入的广告成本，因此造成批发价和零售价格的上涨，同时成员尤其是制造商为达到长远利润最大化，有可能需要牺牲短期利润，并根据长、短期的广告敏感度调整两个周期的广告投入水平。

为达到最有效的广告效果，在今后的文章中也可以考虑零售商进行广告投资，或者成员进行联合广告投资。另外，本文的废旧产品回收率只考虑了与回收投资的关系，尚未引入环境指标，同时广告投入并未考虑环境保护的宣传对回收率以及市场需求和成员利润的影响，今后的研究中可以考虑广告投入下的物流活动与自然环境、社会环境共同发展下的闭环供应链。