非自治Kirchhoff型吊桥方程拉回D-吸引子的存在性

徐 玲， 张娟娟， 马巧珍

(西北师范大学数学与统计学院, 兰州 730070)

1 引 言

假设Ω是R2中的具有光滑边界∂Ω的有界开区域. 本文主要讨论带有强阻尼项Δ2ut的非自治Kirchhoff型吊桥方程

拉回D-吸引子的存在性，其中u(x,t)表示桥面在垂直方向的运动，k2>0表示弹性系数，常数p∈R表示作用在桥面末端的轴向外力，当p>0时表示桥被挤压，否则桥被拉伸,

(F3) |f(u)|≤C2(1+|u|p)，∀p≥1，∀u∈R,

1990年，Lazer和McKenna[1]讨论了吊桥方程

utt+Δ2u+αut+ku+=w(x,t)+f(x)

(2)

弱解的存在性.随后，诸多学者研究了问题(2)的周期解和数值模拟[2-4].另一方面，鉴于吸引子能够有效地描述非线性发展方程所产生的动力系统的最终状态或长时间的发展行为, 很好地反映自然界的许多非线性现象，人们也开始广泛研究非线性发展方程的吸引子及其性质[5-11]. 特别地，2005年，文献[5]获得了耦合吊桥方程全局吸引子的存在性.接着，人们对吊桥方程及耦合系统整体强解和吸引子的存在性进行了广泛的研究[6-11].如果考虑到桥梁的轴向拉伸而产生的轴向拉力[12]，就得到了Kirchhoff型吊桥方程(1).

在文献[13]中，当外力项g∈L(R+;L2(Ω))和时，作者获得了方程(1)有界吸收集的存在性，并在g不显含时间t时证明了该问题弱解的全局吸引子的存在性及正则性.然而对于问题 (1)拉回吸引子的存在性尚无相关结果.本文运用文[14-15]中的方法研究非线性项满足条件(F1)～(F3)时问题(1)拉回D-吸引子的存在性.

2 预备工作

((u,v))，∀u,v∈V.

(3)

其中λ1>0是A的第一个特征值.

下面介绍本文用到的基本概念和抽象结论，参见文献[14-15].

设(E,d)是完备的度量空间，(Q,ρ)为度量空间，也被称为符号空间.我们定义共圈映射φ:R×Q×E为非自治动力系统，它是由连续的动力系统作用在符号空间Q上而获得.特别地，θ={θt}t∈R是定义在Q上的动力系统，满足以下性质：

(i)θ0(q)=q，∀q∈Q；

(ii)θt+τ(q)=θt(θτ(q))，∀q∈Q，τ,t∈R；

(iii) 映射(t,q)→θt(q)连续.

定义2.1若φ满足

(i)φ(0,q,x)=x，∀(q,x)∈Q×E；

(ii)φ(t+s,q,x)=φ(s,θt(q),φ(t,q,x)x)，∀s,t∈R+，(q,x)∈Q×E,

则称映射φ:R+×Q×E→E是由θ诱导出的共圈映射.

根据上述定义可知，(θ,φ)构成Q×E上的非自治动力系统.

φ(t,θ-t(q),Dθ-t(q))⊂Bq，

(i)P(∪t≥t0φ(t,θ-t(q),Dθ-t(q)))有界；

(ii) ‖(I-P)(∪t≥t0φ(t,θ-t(q),Dθ-t(q)))‖E≤ε，

则称(θ,φ)为拉回D-条件(C)，其中P:E→E1是有界投影算子.

定理2.4设(θ,φ)是定义在Q×E上的非自治动力系统.如果

3 主要结果

问题(1)的解的适定性以及解对初值的连续依赖性可由Faedo-Galerkin逼近方法获得，这里不再陈述，我们直接给出下面的结果.

ut∈C(Rτ;V)，ut(t)∈C(Rτ;H)

(4)

其中Rτ=[τ,+).

φ(t,τ,yτ0)=y(t+τ,τ,y0)=(u(t+τ),ut(t+

τ))，τ∈R，t≥0，y0∈E0

且

φ(t+s,τ,y0)=φ(t,s+τ,φ(s,τ,y0))，

τ∈R，s≥0，t≥0.

由上述定义可知，映射φ:E0→E0是连续共圈映射.

(5)

设Rδ是由全体泛函r:R→(0,+)构成的集合，存在常数δ>0，使得

(6)

引理3.2[7,9]假设f∈C2(R)，f(0)=0且满足(F3)，则f:V→H紧连续.

∀t∈R,

其中δ>0是常数，Pm:V→span{w1,w2,…,wm}是正交算子.

k2(u+,ψ)=(g(t),ψ)-(f(u),ψ)

(7)

由Young不等式和Hölder不等式可得

(8)

(9)

根据条件(F2)可得，存在常数K1>0,使得

(10)

由 (10) 式可得

(11)

由于

(12)

(13)

(14)

由条件(F1)可得，存在常数K2>0,使得

∀u∈V

(15)

定义

根据 (15) 式有W(t)≥0且

‖g(t)‖2+εp2

(16)

两边同时乘以eδt,有

‖g(t)‖2+εp2).

在[t-τ,t]上对上式取积分，可得

(17)

(18)

从而由(15)式可得到

(19)

因此我们有

(20)

令

(21)

我们要得到问题 (1) 在E0中存在拉回Dδ,E-吸引子，由定理2.4知，我们只需验证拉回Dδ,E0-条件(C).

在H中用ψ2=u2t+εu2和方程(1)作内积可得

(g(t),ψ2)-(f(u),ψ2)

(22)

由于

(23)

(24)

由Poincaré不等式，Young不等式和Hölder不等式得

(25)

由于

|f(u),ψ2|≤|((I-Pm)f(u),ψ2)|≤

(26)

|g(t),ψ2|≤|((I-Pm)g(t),ψ2)|≤

(27)

将(23)～(27)式代入(22)式，得到

(28)

(29)

记

由(4)式可知

(30)

其中

则由(29)式可得到

(31)

上式两边同乘eηt可得

(32)

利用Gronwall引理，对上式在[t-τ,t]上积分可得

χ(t)≤χ(t-τ)e-η τ+

(33)

由于

对∀t∈R,ε1>0，存在t1∈(t-τ,t),τ1>0使得u(s)=u(s,t-τ,y0)∈Bδ.因此对任意τ≥τ1,s∈[t-τ,τ1],y0∈D(t-τ)有

(34)

∀s∈[t1,t],y0∈D(t-τ).

由引理3.2可知，∀ε1>0,m≥m1,τ≥τ1，可得

(35)

再次，由引理3.3，取足够大的m，使得

(36)

最后，由(6)式可知，存在τ2≥0，使得

(37)

取τ0=max{τ1,τ2}，由(34)～(37)式即得

y0∈D(t-τ).

从而由定理2.4可得到，问题(1)对应的非自治动力系统(θ,φ)在E0中存在拉回Dδ,E0-吸引子.证毕.