关于Bergman 空间上复合算子的复对称性

宏俊颖， 韩学红

(天津大学数学学院， 天津 300354)

1 引 言

设L(H)为可分的复Hilbert空间H上所有有界线性算子组成的代数.对任意的x,y∈H，任意复数集C中的元素α，β，若算子C:H→H满足：

(ii) 〈Cx,Cy〉=〈y,x〉；

(iii)C为对合算子，即C2=I，这里I为恒等算子；

则称算子C是H上的共轭. 算子T∈L(H)称为复对称的是指存在H上的共轭C使得T=CT*C成立. 此时，称T关于共轭C是复对称的.

设D为复平面C上的单位圆盘，H(D)和S(D)分别表示单位圆盘上的所有解析函数和所有全纯自映射的集合. 由φ∈S(D)所诱导的复合算子Cφ定义为

Cφf(z)=f∘φ(z)，f∈H(D)，z∈D.

给定ψ∈H(D)，乘积算子Tψ定义为Tψ(f)(z)=ψ(z)·f(z)，f∈H(D).

2006年，Garcia和Putinar[1]将复对称矩阵的概念推广到Hilbert 空间，引入了复对称算子的概念.此后算子的复对称性被广泛研究. 首先是Garcia[2]指出了所有正规算子都是复对称的.紧接着，Garcia 和Hammond[3]研究了加权Hardy空间上(加权)复合算子的复对称性.其后，Jung等人[4]在文献[3]的基础上进一步研究了加权Hardy空间上(加权)复合算子的复对称性.其中，作者给出了一些非正规的复对称算子的例子.Bourdon和Noor[5]指出Hardy空间上复合算子Cφ是复对称算子的必要条件是φ在D内有Denjoy-Wolff点或φ是椭圆自同构，同时指出阶数大于3的椭圆自同构诱导的复合算子不是复对称的.最近，Gao和Zhou[6]指出Hardy空间上阶数等于3的椭圆自同构诱导的复合算子也不是复对称的，并且他们也完整地刻画了由分式线性变换诱导的复合算子的复对称性.此外，Narayan等人在文献[7]中还给出了Hardy空间上由非自同构的线性分式映射所诱导的复合算子是复对称而非正规算子的例子.

相比Hardy空间，Bergman空间上复合算子的复对称的研究结果较少……