一种计算核子-核子散射可观测量的方法

王健峰

(四川大学物理学院， 成都 610064)

1 引 言

核子-核子相互作用一直是核物理中大家关心的主题. 对核子相互作用的精确计算，直接影响到其他领域的应用，如可控核聚变，天体物理中的核物理，等等.

核子-核子相互作用的理论，例如一些唯像理论或有效场论，需要计算出可观测量并拟合实验数据. 20世纪50年代角动量表象下的核子-核子散射形式理论被提出[1]，在角动量表象下可以方便地计算可观测量的值.

传统的核子-核子弹性散射可观测量计算方法，是对散射矩阵进行参数化，利用散射矩阵的对称性，使用几个参数来表示散射矩阵，并用这些参数计算可观测量. 常用的角动量表象下的M矩阵的参数化方法有Wolfenstein参数化方法[2]，Hoshizaki参数化方法[3]，Saclay参数化方法[4-5]. 使用参数化方法计算可观测量比较清晰简洁，在公式推导上也比较方便，是比较常用的方法.

不对M矩阵进行参数化，直接由M矩阵计算可观测量也是可行的，并且计算更加直接，本文将介绍一种从角动量表象下M矩阵出发，直接由M矩阵元计算核子-核子弹性散射可观测量的方法.

2 散射矩阵元的计算

2.1 S矩阵元的计算

在核子-核子弹性散射过程中，S矩阵具有幺正性，且体系的总角动量和总自旋守恒. 由于核子具有1/2的自旋，两个核子的体系可以有总自旋为0和1两种情况.

当总自旋为0时，体系总角动量等于轨道角动量. 当总自旋为1时，由于自旋轨道耦合，体系的轨道角动量可以等于总角动量，也可以与总角动量相差1. 散射过程轨道角动量不守恒，轨道角动量为总角动量正负一的两个态的总角动量和总自旋相等，宇称也相同，这两个态可以相互混合.

常用的表示S矩阵的方法是Stapp参数化方法[6]，通过反应道的分波相移来表示S矩阵，非混合的反应道的S矩阵为

S=e2iδ

(1)

其中δ为该反应道的分波相移.

对于相互混合的反应道，也就是总自旋相等，总角动量相等，轨道角动量为总角动量正负一的反应道，其S矩阵为

(2)

其中

Sj-1,j-1=e2iδj-1cos2j

Sj+1,j+1=e2iδj+1cos2j

Sj-1,j+1=Sj+1,j-1=isinjei(δj-1+δj+1)

(3)

2.2 M矩阵元的计算

在总自旋与总自旋的z分量表象下，M矩阵为

(4)

向其中插入角动量的完备集，可以得到M矩阵元的表达式

(5)

现在得到的M矩阵元的表象是总自旋和总自旋的z分量表象. 为了更方便计算可观测量，需要将M矩阵转换为入射粒子和靶粒子的自旋z分量表象. 利用Clebsch-Gordan系数可以得到两种表象的关系：

(6)

3 可观测量的计算

可观测量与散射角度有关，定义可观测量通常的做法是先定义三个基矢[7]：

(7)

其中ki,kf分别为质心系中入射粒子散射前和散射后的动量. 可观测量可以由这些基矢定义.

按照通用的做法，可以用四个下标的符号表示可观测量[4]：Xpqik,其中p,q,i,k分别表示入射粒子散射后，靶粒子散射后，入射粒子散射前，靶粒子散射前的自旋朝向. 方向可以是l,m,n或0，其中0表示初态无极化或末态不测量其极化方向.

在入射粒子和靶粒子均未极化时，质心系中的微分散射截面可以由M矩阵得到：

(8)

其中ρi,ρf分别表示初态和末态的自旋密度矩阵. 其余和自旋相关的可观测量可以由下式得到：

(9)

可以把初态的密度矩阵和末态的测量算符表示为两个泡利矩阵的张量积，以便于公式推导：

(10)

其中σi,σk,σp,σq表示入射粒子散射前，靶粒子散射前，入射粒子散射后，靶粒子散射后自旋方向的泡利矩阵，方向可以是l,m,n或0.

有了可观测量的定义，并求解出M矩阵，便可以计算可观测量的值. 泡利矩阵的张量积是线性独立的，并且具有完备性，因此可以将M矩阵表示为泡利矩阵的张量积的线性叠加.

在核子-核子相互作用中，有宇称守恒和时间反演不变的对称性. 在宇称变换下，l,m的方向由其定义，会变成原来的相反. 在时间反演变换下，泡利矩阵会变为原来的相反数，l,n方向会变为原来的相反. M矩阵需在这两种变换下应保持不变.

仅有下列6个泡利矩阵的张量积满足对称性的要求，M矩阵由它们的线性组合表示：

σl⊗σl,σm⊗σm,σn⊗σn

σ0⊗σ0,σn⊗σ0,σ0⊗σn

并且由于同位旋对称，交换两个粒子，散射过程应保持不变，σn⊗σ0与σ0⊗σn的线性叠加系数应该相同.

线性叠加系数可以通过以下公式求出：

(11)

有了这些关系，便可以使用总自旋与总自旋z分量下的6个M矩阵元求解可观测量. 利用泡利矩阵的性质可以方便地推导出可观测量的公式.

质心系下总共有25个线性独立的可观测量，本文采用Bystricky文章中对核子-核子散射可观测量的定义[4]，并求解出这25个可观测量的公式，如下表. 任何质心系或下的可观测量可以由25个质心系下线性独立的可观测量线性叠加得到.

表1 质心系下25个可观测量的公式

(续表1)σCnlm0-14Im[(M11+M00-M1-1)*(M11-Mss+M1-1)+ 2sinθ(M11+Mss+M1-1)*(M10+M01)]σCmm0014Re[(M11+Mss+M1-1)*(M11-Mss+M1-1)- 2sinθ(M11+M00-M1-1)*(M10+M01)]σClmn0-14Im[(M11+Mss+M1-1)*(M11-Mss+M1-1)- 2sinθ(M11+M00-M1-1)*(M10+M01)]σCll0014Re[(M11+Mss+M1-1)*(M11-Mss+M1-1)+ 2sinθ(M11+M00-M1-1)*(M10+M01)]σCmln014Im[(M11+Mss+M1-1)*(M11-Mss+M1-1)+ 2sinθ(M11+M00-M1-1)*(M10+M01)]

4 结 论

有了质心系下的核子-核子散射可观测量公式，就可以求解可观测量的理论值. 接下以实验室参考系能量50 MeV下的质子-中子散射的微分散射截面为例，计算可观测量的值. 理论相移采用PWA93模型[8]的理论值. 计算结果与BO85[9]，FI90[10]，MO71[11]三组实验数据对照，由于FI90和MO71并非absolute data，因此对其进行了归一化[12].

本文推导了从核子-核子弹性散射M矩阵元直接计算可观测量的公式. 首先从角动量表象下的相移出发，计算出S矩阵元，再从S矩阵元计算出总自旋和总自旋z分量表象下的M矩阵元，利用核子-核子相互作用中的对称性将其化简，得到6个线性独立的M矩阵元. 并利用两个核子自旋z分量表象下的M矩阵推导出通过这6个线性独立的M矩阵元计算可观测量的公式.

图1 50 MeV质子-种子散射的微分散射截面Fig.1 50 MeV NP differential cross section

与过去的参数化方法不同的是，本文没有对两个核子自旋z分量表象下的M矩阵进行参数化，而是直接从6个线性独立的总自旋与总自旋z分量表象的M矩阵元计算可观测量，省去了一些冗余的计算. 在拟合实验数据进行大批量的数值计算时，这种方法可以避免许多不必要的计算和过多的函数调用，加快计算速度.