基于干扰观测器的不确定非线性系统的预定性能控制

郭 颖，王 芳,*，王 坤，华长春

(1. 燕山大学理学院, 河北秦皇岛 066004；2. 燕山大学电气工程学院，河北秦皇岛 066004)

0 引言

近些年，关于非线性系统控制问题的研究越来越受到广大学者的关注，并取得了显著的成果[1-6]。文献[7]针对一类仿射多输入非线性系统，结合反步控制方法设计了自适应反步控制器。但是，在非仿射条件下只能使得系统局部稳定。文献[8]针对一类非仿射非线性系统，提出一种简化的自适应神经网络动态面控制方法。文献[9-10]将纯反馈非线性系统转化为严反馈非线性系统，结合反步控制提出了一种智能控制方法。但是利用神经网络时可能导致“循环设计”问题。针对这一问题，文献[11-12]提出了新的智能自适应控制方法。

预定性能控制可以使控制系统的性能达到预先设定的要求，保证跟踪误差收敛到预先设定的任意小的有界邻域。文献[13]针对一类单输入单输出非线性系统引入了新型的误差转换方法，设计了预定性能控制器。进一步，文献[14]针对多输入多输出非线性系统设计预定性能控制器，实现跟踪误差和所有信号有界，但是， 文献[13-14]没有考虑未知参数的影响。文献[15]针对一类非线性系统的控制问题，设计了预定性能控制器，保证了跟踪误差和所有信号的一致有界性。文献[16]针对一类具有未建模动态的非线性系统，设计了自适应预定性能输出反馈控制策略。文献[17]针对单输入单输出切换非严格反馈非线性系统，提出了预定性能输出反馈控制策略，所提出的控制策略只需调节一个参数，但是，闭环系统的所有信号是半全局一致有界的。文献[18]针对一类具有未知控制方向和外部干扰的多输入多输出非线性系统，提出了预定性能自适应模糊控制策略。文献[19]针对一类具有未知控制方向、输入饱和及跟踪误差约束的非线性系统，研究了基于观测器的自适应跟踪控制问题。文献[20]研究了一类非线性系统的采样数据自适应预定性能控制问题，提出的控制器保证了闭环系统中的所有信号半全局一致有界，但是，预定性能控制器设计比较复杂。文献[21-22]研究了一类纯反馈非线性系统的预定性能控制问题, 但是没有考虑系统的参数未知问题。

近年来，基于干扰观测器的控制在非线性控制设计中得到了广泛的应用，且已经大量地应用到实际系统中，如：机器人系统[23]，航天器系统[24-25]等。文献[26]针对一类具有干扰的多输入多输出非线性系统，将系统的不确定和外部干扰作为系统的综合干扰处理，设计了基于干扰观测器的控制器。文献[27]考虑一类带有外界干扰的非线性系统的跟踪控制问题，提出了一种基于干扰观测器的预定性能控制方案，但是，没有考虑参数的不确定问题。

基于以上分析，本文针对一类具有外界干扰和参数不确定的严反馈非线性系统，提出新型的预定性能控制策略。首先，设计障碍Lyapunov函数保证跟踪误差的预定性能，并对系统中的外界干扰，通过干扰观测器进行估计，同时设计自适应律处理参数不确定问题。然后，设计新型一阶滤波器，避免传统反步控制中的“计算爆炸”问题。最后，基于Lyapunov理论分析闭环系统的稳定性，并对永磁同步电机控制系统进行仿真,验证所提出控制方案的有效性。

1 问题描述

考虑如下严反馈非线性系统：

(1)

本文的控制目标：将干扰观测器，自适应反步控制与障碍Lyapunov函数结合设计预定性能控制器，实现系统(1)：1)存在外界干扰及未知参数θ1～θn情况下，输出x1稳定跟踪其参考指令yd；2)输出跟踪误差满足预先设定的性能,即满足预先设定的暂态和稳态性能。

预定性能的描述如下：

定义1连续函数ρ：R+→R+为预定性能函数，满足以下两个条件：

1)Φ={(t,z1)∈Rt≥0×R|P(t)

当选择合适的预定性能函数P(t)、Q(t)时，可以保证输出误差z1(t)的稳态与暂态性能达到预先设定的要求。

在控制器设计前，作如下假设：

2 预定性能控制策略设计

本节将通过干扰观测器处理外界干扰，并采用自适应律估计未知参数，在此基础上，在反步控制的框架下，设计预定性能控制策略。设计过程分为n步，前n-1步设计虚拟控制输入，最后一步设计实际控制输入u。在第一步设计障碍Lyapunov函数保证系统的预定性能，为解决传统反步控制中的“计算爆炸”问题，设计滤波器对虚拟控制输入的导数进行估计。

首先给出如下引理：

引理1 如下两个函数

当-1

证明因为

所以，当-1

以下是控制器设计的具体步骤。

Step1： 设计虚拟控制输入α1。

定义输出x1的跟踪误差为

z1=x1-yd，

(2)

由式(1)，对z1求导可得

(3)

选择如下的Lyapunov函数[22]

(4)

V1关于时间的导数为

(5)

对于式(3)中的外界干扰d1(t)通过如下干扰观测器进行估计

(6)

(7)

设计如下的虚拟控制输入α1

(8)

未知参数θ1的自适应律为

(9)

(10)

其中，τ1>0是滤波时间常数，l1,σ1>0。e1为滤波误差

e1=α11-α1。

(11)

Step2： 设计虚拟控制输入α2。

定义x2的误差信号为

z2=x2-α11，

(12)

由式(1)，对z2求导可得

(13)

对于式(13)中的外界干扰d2(t)通过如下干扰观测器进行估计

(14)

(15)

设计如下虚拟控制输入α2

(16)

未知参数θ2的自适应律为

(17)

(18)

其中，τ2>0是滤波时间常数，l2,σ2>0,e2为滤波误差

e2=α22-α2。

(19)

Stepi： 设计虚拟控制输入αi(3≤i≤n-1)。

定义xi的误差信号为

zi=xi-αi-1,j-1，

(20)

由式(1)，对zi求导可得

(21)

对于式(21)中的外界干扰di(t)通过如下干扰观测器进行估计

(22)

(23)

设计如下虚拟控制输入αi

(24)

未知参数θi的自适应律为

(25)

(26)

其中，τi>0是滤波时间常数，li,σi>0,ei为滤波误差

ei=αii-αi。

(27)

为了避免传统反步控制中，因对虚拟控制输入的反复求导而导致的“计算爆炸”问题， 本文设计新型的一阶滤波器(26)对虚拟控制输入的导数进行估计。与文献[29]采用的滤波器

相比，本文设计的滤波器的结构较为简单，且滤波误差在渐近稳定(详见3稳定性分析)。

Stepn： 设计实际控制输入u。

定义xn的误差信号为

zn=xn-αn-1,n-1，

(28)

由式(1)，对zn求导可得

(29)

对于式(29)中的外界干扰dn(t)通过如下干扰观测器进行估计

(30)

(31)

设计如下实际控制输入u

(32)

未知参数θn的自适应律为

(33)

与文献[21-22]相比，本文设计的控制器结构较为简单，且考虑了未知参数和外界干扰的问题。

3 稳定性分析

本节将基于Lyapunov稳定性理论证明闭环系统的稳定性。闭环系统的稳定性可以总结为如下定理。

定理1 考虑严反馈非线性系统(1)，在满足假设1～3的条件下，设计控制器(32)，以及自适应律(9)、(17)、(25)、(33)，干扰观测器(6)、(14)、(22)、(30)和滤波器(10)、(18)、(26)，则跟踪误差z1满足预定性能P(t)

证明考虑干扰观测器估计误差，选取如下的Lyapunov函数

(34)

(35)

对式(34)求导，可得

(36)

由假设1，可得下式成立

(37)

考虑跟踪误差、滤波误差、干扰观测器误差、自适应参数估计误差，选择如下的Lyapunov函数

(38)

其中，

(39)

(40)

对式(38)求导，则

(41)

(42)

对V2求导，则

(43)

将式(14)、式(16)和式(18)代入式(43)，则

(44)

对Vi求导，有

(45)

将式(22)、式(24)和式(26)代入式(45)，可得

(46)

(47)

将式(30)和式(32)代入式(47)，则

(48)

(49)

将式(37)、式(42)、式(44)、式(46)、式(48)、式(49)代入式(41),得

(50)

将自适应律(9)，(17)，(25)，(33) 代入上式，得

(51)

其中

进一步整理可得

(52)

由引理1，式(52)满足

(53)

(54)

根据预定性能[22],P(t)

4 仿真分析

永磁同步电机是受到外界不确定影响、强耦合的多变量非线性系统。国内外学者对永磁同步电机的控制进行了大量研究[30-33]。文献[34] 将模糊控制运用到永磁同步电机控制，在此基础上，文献[35]把自适应控制和模糊控制结合，对永磁同步电机进行控制。本节中，针对具有未知参数以及外界干扰的永磁同步电机系统，采用上节所设计的基于干扰观测器的自适应预定性能控制策略，通过仿真验证及可以实现永磁同步电机的角速度的稳定跟踪控制。

永磁同步电机的数学模型为

(55)

(56)

为方便控制器的设计,将永磁同步电机系统分成两个子系统。

针对第一个子系统(42)设计虚拟控制输入为

实际控制输入为

设计的干扰观测器为

针对第二个子系统(43)设计的控制器为

z1=ω-ωd，z2=iq-iqd，z3=id-idd，ωd、idd、iqd是ω、id、iq的参考信号。

θ1和θ2的自适应律为

仿真中，选取期望的角速度为ωd=125.6(1-0.33cos(4πt))；负载扰动为0≤t<0.5,TL=90；0.5≤t<2.5,TL=90+30sin(πt),idd=0;电机参数为:RS=0.14 Ω,L=4.6 mH,p=3,B=0.004,ψf=0.96Wb,J=0.054 7 kg·m2,θ1=-30,θ2=-30。控制器参数选取为c1=8 000,c2=3,c3=5,L1=0.000 003,L2=0.2,l1=0.5。选取如下预定性能函数:P(t)=-0.35,Q(t)=e-5t+0.1。

注:选取性能函数P(t)，Q(t)时，需要满足Q(t)>P(t)。为了简便，本文选择P(t)是一个常值函数，Q(t)是一个单调递减函数。若选择P(t)为单调递增函数，Q(t)为单调递减函数也是可以的。

为更好地体现控制策略的优越性，将仿真结果与不考虑预定性能的情况进行对比。在不考虑预定性能的情况下，所设计的虚拟控制输入和实际控制输入分别为

对比的仿真结果如图1～5所示。图1为跟踪性能曲线，曲线表明所设计的控制策略和不考虑预定性能的控制策略在未知参数与外界干扰的情形下都实现了角速度的稳定跟踪。图2为跟踪误差曲线，由曲线可以看出，考虑预定性能的控制策略，跟踪误差始终未超出上下界的限制，满足预设的暂态和稳态性能的要求，且系统响应速度快，超调量小；不考虑预定性能的控制策略，不能保证跟踪误差在设定的可行域内运动，且具有较大的稳态误差。

图1 角速度跟踪
Fig.1 Angular speed tracking

图2 角速度跟踪误差
Fig.2 Angular speed tracking error

(a) uq

(b) ud

图3 控制输入
Fig.3 Control inputs

(a) θ1的估计

(b) θ2的估计

图4 参数估计误差曲线
Fig.4 Parameters estimate

(a) d1的估计

(b) d1的估计误差曲线

图5 干扰d1的估计曲线
Fig.5 DOB estimate error

5 结论

本文针对一类含有未知参数及外界干扰的严反馈非线性系统，将干扰观测器、障碍Lyapunov函数与自适应反步控制结合，提出了预定性能控制策略。利用新型的障碍Lyapunov函数，实现跟踪误差预定性能，通过滤波器解决了“计算爆炸”问题，设计干扰观测器处理了外界干扰，并采用自适应律实现对未知参数的估计。另外，将本文所设计的控制策略应用到永磁电机控制中，实现了角速度的快速稳定跟踪且满足预定性能有效的验证了所设计的控制策略的可行性。