利用端点值巧解不等式恒成立问题*

杨 亮

(海南省临高中学数学名师工作室 571800)

用导数证明不等式恒成立或由不等式恒成立求参数取值范围的问题是新课标高考压轴题的重要考点，因为这类问题要求学生熟练掌握函数与方程、数形结合、分类整合、化归与转化等思想方法．学生在解决此类问题时往往有较大的恐惧心理，觉着无从下手.其实只要学生认真分析，整理各类题型用到的思想方法和出题人考查的数学核心素养的目的，解法还是有规律可循的.笔者深入分析了历年高考导数压轴题，发现2006年、2010年、2014年、2018年高考导数题惊人地呈现周期性规律，都考查了这方面的内容．经过仔细剖析，笔者发现其函数解析式有共同的特点，解法有共同规律，可以说都可以用一个通法来解决，即“端点值切入、恒增或恒减入手找恒成立必要条件、反面找极值点证端点后立刻反单调排除”这三步解题法．下面具体阐述这种方法．

1 特例入手，牛刀小试

我们先来看2018年全国新课标卷Ⅱ理科21题第(1)小问：已知函数f(x)=ex-ax2．若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1．

分析 当a=1时f(x)=ex-x2,要证明当x≥0时，f(x)≥1.注意到端点值f(0)=1恰好为f(x)≥1中的函数值1，那么我们要证明x≥0时f(x)≥1，有一种情况是一定成立的：只要x≥0时f(x)为增函数，就有f(x)≥f(0)，即f(x)≥1一定成立.所以我们很容易就想到要用导数来证明x∈[0, +∞)时，f(x)为增函数，即证明x≥0时f′(x)≥0恒成立这种方法.

显然此题作为2018年高考导数题的第(1)问，入手比较容易，但它体现了我们解题方法中的前两步：“端点值切入--恒增或恒减入手找恒成立必要条件”．这也算是……