浅议滚动摩擦及轿车最大速度的估算

邵 云 窦 瑾

(南京晓庄学院电子工程学院，江苏 南京 211171)

由于滚动摩擦的原理和机制十分复杂，涉及的因素众多，且目前尚未形成能被普遍认可的、系统化的理论，因此大多数《力学》教材对此鲜有介绍，即使介绍也只是点到即止。漆安慎《力学》教材[1]是少数给出稍详细点介绍的教材之一，但也限于篇幅，该教材对于滚动摩擦力矩的等效虚拟力即“滚动摩擦力”的介绍还不够深入，对该“滚动摩擦力”与静摩擦力的区别也未能阐述；同时，该教材对于滚动阻力因数与速度的关系以及滚动摩擦的一般物理机制均未能展开阐述；另外，该教材对于汽车最大速度值的估算也稍显粗略。这些无疑给广大师生的教与学增添了不小的难度。本文结合图像与实例，尝试阐述这些缺失的内容，供大家参考。

1 滚动摩擦力矩、静摩擦力、“滚动摩擦力”及其关系

当滚动体在支撑面上作无滑动滚动时，由于支撑面的形变(如图1、图3、图5)或滚动体的形变(如图2、图4、图6)，亦或两者皆发生形变(未画出)，将使得支撑面对滚动体的支撑合力R(共面力系简化后的单力)的作用点前移且方向指向平动方向的后上方[1,2]。R在支撑面法线方向的分力为N， 切线方向的分力为f。在接触部分形变不大时，f可被近似看作静摩擦力。图1～图6分别给出在减速、匀速、加速3种情形下支撑合力R及其分力的示意图(重力未画出)，其中R的方向已考虑了角加速度的要求。由图可见，静摩擦力f的大小随加速度的增加而增加。法向支持力N对滚动体质心O的力矩便是滚动摩擦力矩M滚，大小为

图6 轮胎在刚性路面上加速滚动

图5 刚性圆柱在软路面上加速滚动

图4 轮胎在刚性路面上匀速滚动

图3 刚性圆柱在软路面上匀速滚动

图2 轮胎在刚性路面上减速滚动

图1 刚性圆柱在软路面上减速滚动

M滚=Nδ

(1)

其中力臂δ(见图1)称为滚动摩擦因数，它与接触面的材料、粗糙程度、形变程度，以及滚动速度等有关[1,2]。但在速度不很大时，对于给定的滚动体与支撑面，δ随速度变化很小，可近似视为一常量[2]。也就是说当速度不很大时，图1、图3、图5(或图2、图4、图6)中的滚动摩擦力矩M滚的大小相等，与静摩擦力f无关。滚动摩擦力矩M滚阻碍着滚动，对滚动体做负功[3]；而静摩擦力f对滚动体则不做功。为方便计算，人们常常把滚动摩擦力矩对滚动体做负功替换成一个虚拟的“滚动摩擦力”f滚对滚动体的平动做负功，相当于把滚动摩擦等效成滑动摩擦来研究问题[4]，于是有

-f滚·s=-M滚·θ

(2)

其中，s是滚动体的平动路程；θ是滚动体滚过的角度。设滚动体的半径为r，并设接触部分的形变不大，则有s≈rθ，于是由式(2)结合式(1)得

(3)

其中δ/r是一无量纲的量，称作滚动阻力因数，记作μ′。则有

可见，滚动阻力因数μ′类似于滑动摩擦因数μ，f滚同样正比于正压力的大小N，从μ′和N便可直接计算出这个等效的“滚动摩擦力”f滚。与滚动摩擦因数δ一样，滚动阻力因数μ′同样与接触面的材料、粗糙程度、形变程度，以及滚动速度等有关[1,2]，在速度不太大且其他条件一定时，μ′可视作一与速度无关的常数[2]。需要注意的是，“滚动摩擦力”f滚与图1～图6中的静摩擦力不是一个概念，它与滚动体的加速度无关，即使它在数值上与图3或图4中的静摩擦力值相等。

为了显示“滚动摩擦力”f滚与静摩擦力f的区别和各自用途，现以图6为例，分别运用角动量定理和动能定理来求解平直路边上轮胎的运动，假设轮胎上方没有负载且轮胎的形变不大。该结论可推广至图1～图5。

解法一(角动量定理法)：

如图6，设轮胎质量为m，半径为r，绕质心轴的转动惯量为IC，轮胎向前的加速度为a，滚动的角加速度为α，据纯滚动条件有a=rα。设滚动摩擦力矩大小为M滚，轮胎所受静摩擦力大小为f，轮胎质心受水平外力为F。则由牛顿第二定律和刚体对质心轴的角动量定理得

联立式(6)、式(7)解得

解法二(动能定理法)：

(10)

将式(10)两边同除以时间微分dt并整理即得轮胎的加速度量值

(11)

由f滚=M滚/r可见式(11)与式(8)是一致的，至于求静摩擦力(约束力)，则还得运用一下牛顿第二定律式(6)。

严格说，“滚动摩擦力”f滚只能用于动能定理(即从能量的角度进行推理)，不能用于受力分析，毕竟它是一个虚拟力，无法在真实的受力图中作出[2]。不过从式(8)和式(9)可以看出，当轮胎匀速运动或轮胎的转动惯量IC→0时有f=f滚，这就意味着：在此情形下，可以直接用“滚动摩擦力”值f滚=μ′N代替静摩擦力值f来处理滚动体的平动问题。

在现实生活中，我们遇到的往往是轮胎上方存在负载的情况，例如骑自行车或开汽车等。若图6中显示的是有负载的自行车或汽车的从动轮，则经分析可知，以上诸方程式及其结论依然成立，只是此时的滚动摩擦力矩M滚及外力F变得很大，相对来说，轮胎的质量m与转动惯量IC就变得很小了，于是由式(8)和式(9)取近似后便得M滚/r≈f，即f≈f滚，即此时静摩擦力也可被“滚动摩擦力”近似替代了。这一点也可从以下角度来理解：因为转动惯量IC相对很小，所以从动轮受到的滚动摩擦阻力矩要远大于使之加速(或减速)滚动的合力矩，这就意味着图6中的支撑力R几乎通过质心O，于是便得f≈f滚。在用“滚动摩擦力”近似代替静摩擦力之后，再结合驱动轮的“牵引力”和空气阻力，我们便可简单而直观地计算自行车或汽车的平动加速度、速度及最大速度了，这便是引入f滚这个虚拟力的意义所在。

2 滚动阻力因数与路面类型及车速的关系

前文提到，滚动阻力因数μ′与接触面的材料、粗糙程度、形变程度，以及滚动速度等有关，因此当汽车在路面上行驶时，μ′应与路面的类型、行车速度、轮胎的材料与构造、胎内气压等因素有关。表1给出汽车在某些路面上以中低速行驶时μ′的

表1 不同路面上汽车中低速行驶时的μ′值

大致数值[2]，所给范围是考虑到实际路况、车速等因素后的结果。

实际上，汽车的行驶速度对滚动阻力因数μ′的影响也是很大的[2]。由图7可见，当车速在100km·h-1以下时μ′值随车速增加缓慢，可近似看作一常数，但其后μ′值随车速增加得越来越快，汽车所受滚动摩擦阻力(矩)则越来越大，直至在200km·h-1以上时因轮胎边缘产生驻波形变而爆胎。

图7 良好的沥青路面上滚动阻力因数与车速的关系

需要说明的是，由于目前的滚动摩擦理论尚不够成熟，故以上的数据只能通过实验测得。

3 轿车最大速度的估算

图8 以最大速度匀速行驶时轿车的受力

图8中N1为前轮所受地面竖直向上的支持力，G为(两)车轮自重，F1为车身对前轮轴向下的压力，f1为前轮受到地面朝前的静摩擦力，F′为前轮轴受到车身向后的拖拽力。后轮即从动轮所受诸力与前轮类似。由于车轮均作匀速平动，故有N1=G+F1，f1=F′，N2=G+F2，F″=f2。可见这些力在前、后轮分别形成两个力偶矩，前轮的方向相同，后轮的相反。其中N1对前轮轴心的力矩便是前轮的滚动摩擦力矩，后轮的N2亦然。设前后轮完全相同，滚动阻力因数μ′也相同(实际前轮胎承压更大，μ′值略大)，则δ=rμ′相等，即N1、N2到各自轮轴的距离也即力臂相等。

对于后轮即从动轮，由于作匀速滚动，所以有力矩平衡方程式

f2r=N2δ

成立。于是得

(12)

即后轮所受静摩擦力等于后轮的“滚动摩擦力”。该结论在第1节已经提及。

对于前轮(即驱动轮)，同理也有力矩平衡方程式

f1r+N1δ=M驱

成立。两边同除以车轮半径r得

f1+f1滚=f牵

(13)

可见前轮所受朝前的静摩擦力并非“牵引力”[2,5]，有f1

由于轿车整体做匀速运动，水平方向受力平衡，故有

f1-F风阻-f2=0

(14)

将式(12)、式(13)代入式(14)即得

f牵-f1滚-F风阻-f2滚=0

(15)

其实在第1节已经分析过：当车轮上方存在较重的负载时，其转动惯量可被忽略，即使车轮加速滚动，也可认为它所受的力矩是平衡的。即式(12)、式(13)对于轿车总是成立的。于是我们便可参照式(15)写出轿车(或载人自行车)的整体运动方程如下：

f牵-f1滚-F风阻-f2滚=ma

其中，m为轿车(或载人自行车)的质量；a为其加速度。

下面利用式(15)估算普通桑塔纳轿车的最大速度[1]。

轿车所受空气阻力F风阻的表达式为

(16)

其中，CD是轿车的空气阻力系数；ρ是空气密度；S是轿车迎风面横截面积；v是车速。对于普通桑塔纳轿车而言，CD≈0.425，S=1.89m2。常温(15 ℃)下空气的密度为ρ=1.226kg·m-3。设轿车满载总质量M=1.52×103kg，发动机的有效驱动功率P有效=54kW，则“牵引力”为

(17)

其中ω为车轮角速度。考虑到普桑轿车的实际速度可达150km·h-1以上，参考图7后可设此时的滚动阻力因数μ′=0.02(子午线轮胎)，那么该轿车受到总的“滚动摩擦力”为

f1滚+f2滚=μ′Mg

(18)

将式(16)、式(17)、式(18)代入式(15)得

(19)

将诸数据代入式(19)并整理得

0.4924v3+298v-54000=0

(20)

解得

v=43.7m·s-1=157km·h-1=vmax

(21)

此即普桑轿车在有效功率P有效=54kW的驱动下，在良好的公路上行驶时的最大速度值估计。

如果忽略滚动摩擦，即在方程式(19)、式(20)中删除左边的第二项，则求得文献[1]中的结果：v′max=172km·h-1。可见文献[1]中的近似处理所带来的误差其实还是不小的。另外，文献[1]将滚动阻力因数取作μ′=0.01也不够精确，μ′=0.01只能适用于中低速情形，对于150km·h-1以上的高速情形显然是不适用的。

需要说明的是，vmax=157km·h-1是普桑轿车满载即M=1.52×103kg时的最大速度。而普桑的装配质量在1100～1200kg之间，从式(19)、式(20)也可算出它空载(1200kg)时的最大速度约为160km·h-1。可见负载和滚动摩擦对于轿车最大速度的影响远小于空气阻力。此结论与文献[1]是一致的。另外，目前一般轿车的空气阻力系数在0.28～0.4之间[2]，最大有效功率不少都在100kW以上。假设某轿车的CD=0.3，P有效=100kW，μ′=0.04(参见图7)，其他条件与前面满载的普桑相当，则从式(19)、式(20)可估算出此轿车的最大速度为207km·h-1。

4 滚动摩擦的一般物理机制分析

滚动摩擦的物理机制十分复杂，涉及的因素众多。对于滚动体而言，任何导致能量衰减的因素都将导致滚动摩擦力矩或“滚动摩擦力”的增加。一般来说，滚动摩擦产生于以下4个方面的因素[6]。

1) 微观滑动

当一滚动体在另一物体表面滚动时，由于切向应力(包括静摩擦力)的存在使得两接触面上的分子层各自产生不同的切向位移，于是产生微观滑动。其中较柔软的接触面产生的切向位移更大。微观滑动将导致动能的损耗，其机理与滑动摩擦相同(类似于宏观的“轮胎打滑”)，这个损耗将对滚动摩擦力矩产生贡献。

2) 塑性变形

在滚动过程中，当垂直于接触面的应力达到一定大小时，在距离表面的一定深度处将产生塑性变形，该塑性变形区域随应力的增大而扩大。塑性变形将消耗滚动体的动能，表现为滚动摩擦阻力矩。

3) 弹性滞后

当滚动体在路面上滚动时，滚动体与路面间的弹力在加压时的数值总是略大于减压时的数值的现象称为弹性滞后现象，其压力回线类似于软磁体的磁滞回线[2]。也就是说，当滚动体与路面挤压时所消耗的动能在接触消除时并没有被全部收回，而是消耗掉一小部分转化为热能。轮胎的弹性滞后效应直接导致与硬质路面接触的轮胎皮的前半部分压力明显大于后半部分，这使得地面对轮胎总的支撑力的作用点前移并形成阻力矩。

4) 黏着效应

滚动表面相互紧压形成黏着结点，这些黏着结点在滚动过程中又将沿垂直于接触面的方向彼此分离，产生阻力矩。

人们一般认为：弹塑性固体的滚动摩擦主要归因于固体接触过程中的变形损失和滞后损失，即塑性变形和弹性滞后是通常弹塑性材料滚动摩擦的主要原因[7]。对于在良好的路面上行驶的汽车而言，轮胎的弹性滞后效应则是滚动摩擦的最主要原因[2]。

5 总结

本文从滚动摩擦力矩的等效功引入等效的“滚动摩擦力”的概念，阐述了它与静摩擦力的本质差别以及在通常的负载下它与从动轮静摩擦力的可替代性；介绍了滚动阻力因数与路面及车速的关系；利用“滚动摩擦力”和“牵引力”重新估算了普通轿车在良好路面上行驶时的最大速度，并指出传统教材[1]中的一些不足；最后简要介绍了滚动摩擦的一般物理机制以形成一个相对完整的知识体系。限于笔者的知识水平，本文也只是笔者关于滚动摩擦基础知识的一点零星的学习心得，权当对文献[1]中相关内容的补充说明，谨供大家教学参考，不当之处还望批评指正。