第31届USAMTS试题赏析(第一轮)

钟劲松

1 前言

美国数学天才选拔赛（USAMTS——USA Mathe-matical Talent Search）是一项针对美国所有初、高中学生进行的免费、开放性的数学竞赛。数学竞赛试题从易到难，目的是选拔最优秀的学生。USAMTS是Art of Problem Solving Initiative的子项目，主要由美国国家安全局（National Security Agency）等赞助。该项比赛分三轮——初赛、复赛和决赛，所有参赛学生必须在一个月之内完成，学生可查阅资料，借助计算器和计算机等，但所有问题的解决必须是独自完成，不能求助其他人。该项比赛主要训练参赛学生的分析问题、解决问题和规范表达的能力，同时对学生的洞察力、创造力和毅力等都有很高的要求，这些能力、品质和意志的形成对将来的科学研究有很大的帮助。本文选取第3l届（2019-2020）第一轮比赛（初赛）的全部5道题，并给出解答过程和点评。本文旨在让读者对USAMTS竞赛及其试题特色有大致了解，文章最后对第31届USAMTS数学竞赛试题（第一轮）特色进行归纳和总结。

2 试题赏析

试题l1如图l，把网格（单位长度为1）分成1*1和1*2的矩形，其中1*1的矩形中画*，1*2的矩形画连接两个小正方形的中心线段。规定：两个用*填充的单位正方形不能共边，且在粗线（黑色边界）两侧，1*2矩形中填充的线段方向相对（垂直）。请给出填充方案。

解析 如图2所示。

点评 本题填充方式唯一，不需要证明填充方式的唯一性，仅需要找到满足条件的填充方式即可。但在其他非类似填充数字或图形的问题中。需要给出问题的完整求解和证明过程。

点评 本题直接证明比较困难，所以采用反证法。证明的关键是如何反设以及证明时思维的缜密性。……