尺规作图重在引导学生“想”数学

胡赵云

编者按

尺規作图是初等数学的古老话题，在教育人们思考数学、发展几何直观与推理能力等方面有着独特的意义。现实教学对尺规作图的功能研究不多，对它的教育价值缺乏足够的认识。本专题从尺规作图的价值与教学实践等角度阐述尺规作图教学要立足于引导学生思考，学会“想”数学。

一、概况介绍

尺规作图是指规定只能用直尺和圆规两种工具的作图，也称为初等几何作图或欧几里得作图。尺规作图分为定位作图与活位作图。定位作图是指所求作的图形必须在指定条件的位置，如“作已知角的平分线”。活位作图是指所求作的图形没有明确指定的位置，如“作一个角等于已知角”。

尺规作图必须遵守下列三条作图公法：

（1）过两点可以作一条直线;

（2）以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆;

（3）两条直线，或一条直线和一个圆，或两个圆，如果它们相交，就可以确定它们的交点。

《几何原本》的五条公设中第1.1、1.3条公设正是上述前两条公法。由此，欧几里得限制了作图工具只能是直尺和圆规，也规定了直尺和圆规只具有下列功能：

（1）作线：用直尺可以作出第一条公法所规定的直线;

（2）作圆：用圆规可以作出第二条公法所规定的圆;

（3）确定交点：用直尺和圆规可以确定出第三条公法所规定的交点。

从已知条件出发，经过有限次使用直尺和圆规作出所求作的图形，就说该作图问题有解。如果符合已知条件的图形不存在，就说该作图问题无解。……