三角形特殊线段教学中的核心素养思考

广东省珠海市小林中学(519045) 汤海莲 罗永活

人教版初中教材将三角形特殊线段内容安排在八年级上册“11.1.2 三角形的高、中线与角平分线”中进行学习,但知识点相当简单,只包括理解高、中线与角平分线的概念和了解三角形的重心.由于八年级学生刚刚开始接触“图形与几何”中“面”的内容,笔者在教学中尝试通过图形来探索归纳结论的合作交流学习方式,更好地发展学生的几何直观和逻辑推理等核心素养.下面,笔者就三角形特殊线段教学实践为例,谈谈自己的几点思考和体会.

1 教学片段实录

问题呈现:用三角板作出下列各个三角形三边上的高,并观察图形的高有什么特点?

由于学生在小学阶段已学习高的作法,因此稍作思考,小组内讨论比较,学生很快就完成作图.

教师:下面请同学上来展示作图?同时说一说你的作图方法?

学生1 展示作图:用三角板的一条直角边压在三角形一条边上,三角板沿着所在边移动,使三角板另一条直角边经过顶点,画出来的垂线段就是一条高,同样的方法画出其他边上的高.

教师:学生1 做得很好,并且注意到了一些细节,如垂足处标记上垂直符号等等.请大家观察他的三个图形,思考:不同三角形的高的所在位置有什么不同?

学生2:锐角三角形的三条高相交于三角形的内部;直角三角形有两条高刚好是直角边,第三条高是在三角形内部;钝角三角形有一条高在三角形内部,两条在三角形外面.

教师:对的.除了位置的不同以外,三个三角形的高有什么共同点呢?

学生3:第(1)和第(2)两个三角形的三条高相交于一点,第(3)个钝角三角形的高线延长后也相交于一个点,如下图.

教师:对!那三个三角形的三条高所在的直线的交点是如何分布的呢?

学生4:锐角三角形的三条高相交于三角形的内部,直角三角形的三条高刚好相交在直角顶点上,延长钝角三角形的三条高所在直线后,它们相交于三角形的外面.

教师:很好!这个点叫做垂心,具体的概念是:三角形的三条高所在直线的交点称为三角形的垂心.请再观察图形,从图中能得到哪些角度的大小?

学生5:如图(1),∠ADB=∠ADC=90°.

教师:对!其他地方的垂线是否有同样的关系?

学生5(快速而肯定的):能!

教师:对的,作垂线后,垂足的地方就能得出两个90°的角,大家能通过学生5 的发现,找出一些角之间的数量关系吗?

同学们默默地思考了一会,学生6 站起来说:如图(1),在直角三角形ABD中,∠ABD+∠BAD=90°,同样地直角三角形ADC,∠DAC+∠DCA=90°,其他直角三角形也有同样的结论.

教师:多棒啊!学习几何的方法是敢思考和大胆假设,要大胆的在图形中标出你所能得出的全部条件,学生6 的想法是正确的,本题作垂线的主要目的是得到一些角度的数量关系!那么,除了角度的数量关系以外,大家能找出其他的数量关系吗?

教室里,同学们又陷入了沉思.

学生7:我想到小学时的知识,在图(2)中,直角三角形ABC的面积可以用底乘以高除以2 求出,即AC乘以BC除以2.

教师:非常好,我们可以用式子表示出来:SΔABC=·BC,那还可以用其他式子表示直角三角形ABC的面积吗?

学生7(补充):可以,直角三角形ABC的面积同样可表示为SΔABC=AB·CE.

教师:学生7 的发现的结论真棒!还有其他发现吗?

学生8:图(2)直角三角形的面积也可以用两个小直角三角形的面积相加来求出:

教师:学生7 和8 的发现非常棒!其他图形有这样的结论吗?

学生9 站了起来:图(1)和图(3)我们也可以得到以上结论,即

教师:以上同学发现的结论都非常好,这里包括有三角形中边和角的关系,面积的和差关系.同学们再思考思考,还有没有其他结论?

同学们很快陷入思考和讨论中,学生10:前面的几位同学发现了面积的和差关系,那我就从三角形面积之间的倍数关系方面考虑,由图(1)得到

好厉害!教室里响起了一阵热烈的掌声.

就这样,在愉悦的课堂气氛中,师生由尺规作不同三角形的高线,共同探讨得出了三角形中关于高的众多结论,深刻理解了高的概念和有关高的知识延伸,为研究三角形中线与角平分线内容打下良好的基础.

2 教学后的几点思考和体会

2.1 创设有效情境,发展几何直观

《义务教育数学课程标准》(2011年版)指出:“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果”[1].在教学中,教师先演示作出三角形的高,帮助学生通过观察直观地理解高的定义.在此基础上要善于设计有效问题情境,创设学生熟悉的问题背景,提出适宜难度的问题,给学生留一点思考的时间和空间,使学生主动参与学习.教学片段问题(作出三角形三边上的高)就是学生在小学已学知识的基础上提出的,因此学生通过观察、猜想和归纳稍作思考便可完成,达到教学预期.通过学习,加深了学生对不同类型三角形特殊线段的认识,完善了学生在初中几何图形方面的认知结构,发展了学生的直观想象素养.

2.2 尊重赞赏学生,激发学科思维

教学活动过程中,教师应该尊重、宽容和赞赏学生,注重帮助和引发学生的主动思考,激发其数学思维,这样才能将学生外在的数学活动转化为内在的思维活动,培养学生的逻辑推理和创新能力.在学生6 发言后,教师赞赏说:“学习几何的方法是敢思考和大胆假设,要大胆的在图形中标出你所能得出的全部条件,学生6 的想法是非常正确的,本题作垂线的主要目的是得到一些角度的数量关系!”从而营造出温馨而活跃的课堂气氛,点燃学生思维的火花,也造就了学生7到学生10 这些令教师在备课时没有预料到的惊喜结论.

2.3 立足基本线段,体会核心素养

三角形的高、中线与角平分线是与三角形有关的基本线段.在复杂图形中发现基本图形,特别是发现这些图形中的基本线段,从而得到相应的位置关系和数量关系,是探索几何问题时常用的基本方法.在平时的教学过程中,教师要注重对典型例题的几何图形进行挖掘,有意识地探索和积累基本线段、基本图形中存在的各种关系,注重常态教学和基本知识的有机渗透,让学生感悟数学的基本思想和思维方式,强化应用意识,体会数学核心素养.本教学课例通过作图过程来探索、归纳与三角形有关的基本线段在三角形中的数量关系,发展学生的推理能力和应用意识.