一类有限Abel群的自同构群

2020-08-13 12:33石静静
关键词:数学系子群素数

石静静,周 芳

(太原师范学院 数学系,山西 晋中 030619)

0 引言

设G是一个交换群,当G作为循环群的直积时,它的结构是众所周知的,见[1-2],而AutG的结构还远不为人知.Bidwell和Curran[3]分析了G=Cpm×Cpn(p是奇素数或p=2)的自同构群的结构并给出它的一种简单表示.Bidwell[4]也描述到当G=H1×H2×H3,其中Hi为循环群时,则有

其中

通过利用矩阵表示的方法计算出AutG的结构以及它的生成元和生成关系.

设G=Cpm1×Cpm2×Cpm3(p为素数且m1>m2>m3),本文采用一种更为简洁的矩阵表示方法从p是奇素数和p=2这两种情况分别给出AutG的结构以及它的一种简单表示.本文的符号是标准的[5].

1 主要内容

1.1 Aut(Cpm1×Cpm2×Cpm3),p为奇素数

则有

进一步,如果设

正如[7]中,我们可以很自然地去定义:Aij=〈aij〉,它们都是循环的.从而得出AutG=〈a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33〉,其中

现详细考虑其余的关系,计算如下:

对于aijaji是最复杂的,具体计算如下:

最后,我们得到了Aut(Cpm1×Cpm2×Cpm3)的9个生成元之间的生成关系:

Aut(Cpm1×Cpm2×Cpm3)≅〈a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33:

1.2 Aut(C2m1×C2m2×C2m3)

则有

AutH1=〈α1〉×〈α11〉≅C2×C2m1-2,

AutH2=〈β1〉×〈α22〉≅C2×C2m2-2,

AutH3=〈γ1〉×〈α33〉≅C2×C2m3-2,

进一步,可设

则子群A11=〈b1,a11〉≅C2×C2m1-2,A22=〈b2,a22〉≅C2×C2m2-2,A33=〈b3,a33〉≅C2×C2m3-2.因此,AutG=〈b1,a11,a12,a13,a21,b2,a22,a23,a31,a32,b3,a33〉.

下面定义阶,具体地,当mi>2,有ο(aii)=2mi-2,若i≠j,有ο(aij)=2min(mi,mj),且当mi>1,有ο(bi)=2,即:

对于ajiaij的形式:

若uij=2:选取ωij(必须为奇数),使满足-5ωij≡1+uij≡3(mod2mi),现就a21a12来考虑,具体如下:

最后,得到AutG的12个生成元之间的生成关系:

Aut(G)≅〈b1,a11,a12,a13,a21,b2,a22,a23,a31,a32,b3,a33:

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