瞄准学生的“想当然”

钱蔚

摘要：受长方形的面积=长×宽的影响，学生会想当然地认为，平行四边形的面积也就是两条邻边相乘的积。可见，《平行四边形的面积》一课教学，如何处理学生的“想当然”是关键。对此，从学生的“想当然”起步，引导他们经历知识的生长过程，探寻知识本质，并通过练习查漏补缺。

关键词：学生视角本源经验知识本质《平行四边形的面积》

以往教学苏教版小学数学五年级上册《平行四边形的面积》一课，我都是沿袭教材的思路，通过例1，用“暗示”的方式引导学生将平行四边形转化成长方形。尽管这样的教学思路很顺畅，但我一直有这样的疑惑：当学生面对计算平行四边形的面积这一新问题时，能自觉想到要将平行四边形转化成长方形吗？学生这种转化的想法是怎么产生的？

带着这样的疑惑，我仔细研读了教材和其他教学资料，并在部分学生中进行了前测。前测很简单，在纸上画一个平行四边形，请学生自己想办法求出平行四边形的面积，并简单说明为什么这样做。从前测的情况来看，用邻边相乘的学生比较多，原因是受长方形的面积=长×宽的影响，学生想当然地认为，平行四边形的面积也就是两条邻边相乘的积。可见，如何处理学生的“想当然”应是教学的关键。对此，再次教学这一课时，我尝试从学生的“想当然”起步，引导学生经历知识的生长过程，探寻知识本质，并通过练习查漏补缺。

一、从学生的“想当然”起步

师 （出示长方形和正方形的图片，图略）要知道这两个图形的面积，该怎么办？

生只要知道长方形的长和宽的长度，再利用公式长×宽，就能算出长方形的面积。

生正方形的话，只要知道边长，就能根据公式算出面积。

（教师课件补充条件;长方形的长为4厘米、宽为3厘米，正方形的边长为4厘米。学生求面积。）

师（出示平行四边形的图片，图略）这是一个平行四边形，它的面积怎么算？是多少？请同学们从材料袋中拿出平行四边形，自己量取所需要的数据，试着算一算。

（学生量数据并计算。）

师你量了什么？怎么算的？

生我量了一条底是7厘米，旁边一条斜边是5厘米，面积是7×5=35（平方厘米）。

生我量了一条底是7厘米，一条高是3厘米，面积是7×3=21（平方厘米）。

生我也是量了一条底和斜边，面积是（7+5）×2=24（平方厘米）。

师同一个平行四边形的面积有了三种答案，到底哪种才是对的呢？实际上，我们有一种最原始但却很有效的方法可以用来验证。还记得我们是如何得出长方形的面积计算公式的吗？

生数格子。

（教师课件动态展示长4厘米、宽3厘米的长方形由12个1平方厘米的小正方形组成的过程，然后，加上面积计算公式，如图1所示。）

图1

师长方形包含几个面积单位，即小正方形，它的面积就是几。那么，平行四边形包含几个面积单位，是不是面积也就是几呢？（出示图2）我们是否可以把平行四边形放到边长为1厘米的方格图中，通过数一数来得出这个平行四边形的面积是多少呢？

图2

生对，可以的。

（学生独自数面积。）

师你是怎么数的？面积是多少？

生我是先数整格的，再把两边的拼起来，一共21个整格。

生（展示图3）我是把左边的一个三角形拼到右边，正好拼成一个长方形，长是7厘米，宽是3厘米，这个长方形的面积就是21平方厘米，平行四边形的面积也就是21平方厘米。

图3

师通过数格子，我们发现，这个平行四边形的面积是21平方厘米。这和之前用底×高算出来的面积是一样的，也就是说，用底×高来算可能是对的。

建构主义学习理论告诉我们：学习不是被动地接收信息刺激，而是根据已有的经验背景，对外部信息主动地选择、加工和处理，从而获得个体的理解的过程。如同前测所得出的一样，学生果然存在邻边相乘的“想当然”。教学就从学生的“想当然”起步，引导学生回顾长方形面积计算的学习经验：通过摆小正方形、数格子计算面积，即看图形里包含几个面积单位，这是面积计算的本质。因此，当同一个平行四边形的面积出现几种不同的计算结果后，利用这种本质方法来验证，这是学生学习经验的前后衔接。展示不同的数格子方法，尤其是拼成长方形后再数的方法，使学生直观地感受到：只有将图形这样变形，才能够最简便地计算出它包含了几个面积单位。如此，平行四边形的面积为何要通过剪、移、拼进行转化的道理，得以不露痕迹地渗透与建构。

二、寻找解决“想当然”的方法

師接下来，我们该干什么呢？

生我们要研究平行四边形的面积是不是用底×高来算。

生我们要研究平行四边形的面积为什么用底×高来算。

师这两个问题本质上是一样的，都是要知道平行四边形的面积为什么用底×高来算，其中有什么道理。同学们先独立思考一下，然后把你的想法说给组内同学听。

（学生独立思考后小组交流。）

生平行四边形可以变成长方形，底和高与长方形的长和宽一样，所以用底×高算。

生我们的想法也是把平行四边形一边的三角形移过去，变成长方形。

师看来，同学们的想法是一致的，（板书：平行四边形→长方形）研究平行四边形的面积要把平行四边形变成长方形。把平行四边形变成长方形，（在箭头上方板书：转化）数学上叫转化。用转化的方法可以把没学过的知识变成已学过的知识，从而解决新问题，这是数学学习中一种重要的方法。平行四边形怎么转化成长方形？所有的平行四边形都能转化成长方形吗？下面我们继续研究。请同学们拿出材料袋中的平行四边形和剪刀，试着将平行四边形转化成长方形，然后说说你是怎么转化的。

（学生操作。）

生（投影展示剪拼过程，得到图4）我是沿着一条高剪下一个三角形，移到另一边，就拼成了一个长方形。

图4

生（投影展示剪拼过程，得到图5）我剪下的是一个梯形，移到另一边，拼成了长方形。

图5

师这两个同学在剪的时候有什么共同点？

生都是沿着高剪的。

师只能沿着这样的两条高剪吗？为什么要沿着高剪？

生沿着任意一条高剪，都能将剪开后的两个图形拼成长方形。

生只有沿着高剪，才能有直角，才能转化成长方形。

师沿着平行四边形任意一条高，通过剪、移、拼，可以把平行四边形转化成长方形。任意一个平行四边形都能转化成长方形吗？

（教师根据学生的回答出示图6。）

图6

师完成转化后，我们要找找它们之间的联系。转化成的长方形与平行四边形哪些要素有联系呢？请同学们观察刚才的平行四边形与转化后的长方形，（出示表1）并填写表格。

表1

转化成的长方形平行四边形长/cm宽/cm面积/cm2底/cm高/cm面积/cm2（学生填表。）

师观察表格，你发现转化成的长方形与原来的平行四边形有什么联系？

生长方形的长与平行四边形的底相等，长方形的宽与平行四边形的高相等，长方形的面积与平行四边形的面积相等。

生平行四边形的面积就是长方形的面积。

平行四边形的面积为什么是底乘高？如何将平行四边形转化成长方形？是否所有的平行四边形都能转化成长方形？转化后长方形与平行四边形有哪些关系？这些问题的深入探讨都能促进学生对平行四边形面积计算“想当然”的纠偏。同时，根据知识之间的结构关联性，在本单元教学中要循序渐进地教给学生平面图形面积计算的学习方法结构，也就是探究“转化”的三个具体步骤。第一步，掌握把未知转化成已知的方法，也就是从关键的点或线出发实现转化。这些经验的积累可以为学生实现转化提供具体的方法支撑。第二步，找到转化前后的关系。要帮助学生明确：变化不是随便的，在变化中要找到前后的联系，即相互关系，这是转化很关键的部分。因此，教师在课堂中要引导学生发现图形变化前后线段之间的对应关系和面积的相等关系，为面积公式的推导提供有力的证据。第三步，利用转化前后的关系推出结论。前两步的最终目的是获得未知图形面积计算的结论。根据转化前后的联系，可以用文字或字母的形式来表达面积公式，这是发展学生逻辑思维的重要资源。学生掌握了这样的学习方法和步骤，可为本单元及今后的学习中主动探究其他图形的面积计算方法打下坚实的基础。

三、在练习中解决“想当然”

（一）强调底与高的对应性

师（出示图7—图9）请同学们求这些平行四边形的面积。

图7图8

图9

（学生计算，交流。交流图9中平行四邊形的面积计算时出现了分歧。）

生80×40=3200（平方厘米）。

生我觉得不能这么计算，因为底边80厘米上的高没有告诉我们，不应该乘另一条高。

生是的，沿着40厘米的高剪开，拼成的长方形的长不是80厘米。

（教师课件出示80厘米底边上的高为35厘米，学生计算。）

师 这提醒我们计算平行四边形的面积时要注意什么？

生底和高要对应。

师 能求出与40厘米的高对应的底吗？

生80×35=2800（平方厘米），2800÷40=70（厘米）。

师 已知平行四边形的底和高，可以求面积;反过来，已知面积和高或底，可以求对应的底或高。

（二）明确等底等高与面积相等的充分不必要关系

师（出示图10）这三个平行四边形形状不同，请比较它们的面积大小。

图10

生左边的平行四边形面积最大。

生我觉得三个平行四边形的面积是相等的。因为，这三个平行四边形的底是相同的，高也是相等的。

生是的，只要在三个平行四边形的上边画一条直线，就能看出高是平行线之间的距离，而平行线之间的距离是处处相等的，所以高是相等的;底相等、高相等的平行四边形，面积也是相等的。

师 真好，有理有据！那么，面积相等的平行四边形一定等底等高吗？

（学生思考。）

生不一定的。举个例子，如果平行四边形的面积是12的话，可以底是4、高是3，也可以底是2、高是6……只要两个数相乘的积是12就行。

师 用举例的方法说明了面积相等的平行四边形不一定等底等高，真有策略！所以，等底等高的平行四边形面积相等，但面积相等的平行四边形不一定等底等高。

（三）解答课始的“想当然”

师 现在，我们再回过头来看看，为什么7×5、（7+5）×2算出的不是平行四边形的面积？

生（7+5）×2求的是平行四边形的周长。

师 是的。平行四边形四条边的长度和是平行四边形的周长，不是面积。那7×5，相邻两边相乘，为什么也不是平行四边形的面积呢？我们请出平行四边形框架来解释。

（教师拉动平行四边形框架，学生观察。）

师 拉动平行四边形框架，什么没有变化，什么发生了变化？

生平行四边形的底和邻边没有变。

生面积在变大或变小。

师 面积怎么会变大或变小呢？继续观察。

（教师再次拉动平行四边形框架，学生观察。）

生因为形状在变。

生因为高在变化。平行四边形变成长方形，高就变大;长方形变成平行四边形，高就变小，所以面积就会变化。

生把平行四边形拉成长方形或其他平行四边形，其实是周长不变，面积发生变化。

师 是啊，都是把平行四边形转化成长方形，我们要找到转化前后的联系，发现其中的变与不变。

练习是巩固知识的主要途径。本课的练习设计，注重对学生知识掌握情况的查漏补缺。首先，是直接运用公式计算平行四边形面积的题目，起到巩固所学的作用。但在题目中设置了“陷阱”，呈现了底和高不对应的信息，以暴露学生读题时的“想当然”——直接套用公式底×高，提醒学生注意底与高的对应性。接着，通过三个极具迷惑性的平行四边形诱导学生“想当然”——越“长”的平行四边形面积越大。这进一步引发学生的辩证思考：等底等高的平行四边形面积相等，但面积相等的平行四边形不一定等底等高。最后，是对课始学生“想当然”的回应：在拉动平行四边形框架的过程中，学生直观、清晰地理解了计算平行四边形的面积为什么不是邻边相乘。这一过程还渗透了利用转化思想进行解决问题的关键——找到转化前后的联系，发现其中的变与不变。