为什么读“除以”

赵劲松 侯艳芳

摘要：预习“认识除法”时，一位学生提出了“为什么读‘除以”的问题。这一问题的提出，是基于与之前学习的加法、减法、乘法的比较。其实，“读法”的背后，变化的是表达方式，而不变的是除法的意义。“以某数除之”“以一个数平分另一个数”更能让学生体会除法算式的意义，这才是读法探寻的教学价值所在。

关键词：除以读法算式意义

一、于寻常处看见真问题

“核心素养视域下小学数学基于‘真问题教学的实践研究”是我们正在进行的一项省级课题研究项目。我们所理解的学生的“真问题”，就是真正从学生心底生长出来的，真正属于学生自己的，想知道、想探索的问题。

在苏教版小学数学二年级上册“认识除法”教学前，请实验班的学生提前一天预习，提出问题，并拍照发到群里。其中的一个问题（见图1）引发了我们的关注与思考——为什么读“除以”？

图1

这是一个我们未曾想过的问题，甚至在看到问题的瞬间所闪出的想法是：该怎么读就怎么读呗，读法还有什么为什么！然而，能从寻常处提出自己的问题，这本身就让我们高看了一眼。揣测一下，学生为什么会问出这个问题呢？应该是基于比较。之前学习加法、减法、乘法，是直接读作加、减、乘的，而除法却多了一个“以”。多么善于观察而又“不满足”的孩子！

当然，这位学生所不知道的是，乘法和除法算式在之前均有两种读法。如，2×3读作“2乘以3”，或者“3乘2”;8除以4，也可以读成“4除8”。后来，教材取消了对被乘数与乘数的区分，一道乘法算式可以表示两种意义，便没有了“乘以”的读法，只读作“2乘3”了，但除法依旧。

那么，为什么可以把“乘以”中的“以”字去掉，而“除以”中的“以”却依然保留呢？究竟“几除几”有什么讲究？这个汉字“除”有什么特别的含义呢？

二、从多渠道解读“除”和“以”

我们查阅了第7版《现代汉语词典》，发现“除”的几种字义中，和除法相关的是“进行除法运算，如2除6得3”。再查“以”的解释，和“除以”相关的只有作为介词的“用，拿”这个意思。这就意味着“除以”并不是一个词语。

那么，我国古代是不是也读“除以”呢？

查阅《九章算术》《孙子算经》和《周髀算经》这三本我国古代数学著作，关于除法运算出现了三种描述方法：除、除之、以某数除之。在描述一个除法运算时，多是“以法除实”（被除数称为“实”，除数称为“法”）。

比如《孫子算经》中的一段记录：“假令六为法，百为实，以六除百，当进之二等，令在正百下。以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位，以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退，故或步法十者置于十位，百者置于百位。余法皆如乘时。实有余者，以法命之，以法为母，实余为子。”

这段文字所叙述的是“以六除百”，即“100÷6”的计算过程。也就是说，我国古代并没有“除以”的说法。但是，其中的“以六除百”却让我们看到了“除以”的影子。同时，一个被忽略的问题回到我们的视野：对于计算，我国古代一般是用算筹计算，用文字记录的，而现代所用的这些数字和运算符号其实是从国外传入的。

现在的除法运算所使用的除号“÷”是在17世纪由瑞士人Johann Heinrich Rahn创造的，用一道横线把两个圆点分开，表示分解的意思。这一表达方式传入其他国家后就必然存在一个语言翻译的问题。比如，8÷4，用英语读作“8 divided by 4”，也就是“8被4分解”，表达出了算式的意义。

在我国，除法运算是自古就有的，而除法算式是后期传入的。那么，读法就是传统内涵、表达与现代符号的一种融合。原先的“以4除8”，将介词“以”组成的介宾短语“以4”后置，倒装变化为“8除以4”。这是中国文字对现代算式的变通表达，既很好地观照到从左向右读的便利，同时又保留了中国传统的除法表达内涵，简洁、智慧！

由此推测，“乘以”也应是“以某数乘之”的意思，被乘数、乘数原先也都有着特定的意义。

三、在咬文嚼字中促进深理解

回顾整个思考过程，“读法”的背后，变化的是表达方式，而不变的是除法的意义。我们认为，“以某数除之”“以一个数平分另一个数”更能让学生体会除法算式的意义，这才是读法探寻的教学价值所在。在这种思考下，第二天，我们进行了一次教学尝试：

（出示教材例题的情境图，见图2。）

图2

师从图中你知道了什么？

生有6个小朋友坐缆车，每车坐2人，问要坐几车。

师要坐几车呢？怎样才能知道？

生可以用6个圆片摆一摆，每2个一份，可以分成3份。

生也可以直接想，3个2是6，所以坐3车。

师“有6个小朋友坐缆车，每车坐2人，要坐3车”，这句话还可以用除法来表示。通过昨天的阅读，你知道怎么用除法来表示吗？

（请一个学生尝试写算式6÷2=3。）

师会读吗？

生（齐读）6除以2等于3。

师关于除法算式，你还知道哪些知识？

生我知道“÷”是除号。

师瞧，用一短横把两个点分开，是不是表示出了平均分的意思？

（教师介绍除号的书写顺序。）

生我知道6是被除数，2是除数，3是商。

（教师带着学生一起认被除数、除数、商。）

师通过昨天的阅读和刚才的学习，你还有什么问题呢？

生我昨天看书的时候就有一个问题：为什么读“除以”？

生为什么不像加、减、乘一样，读“除”呢？

生为什么名字叫“除号”，却读“除以”呢？

生那应该叫“除以号”吧？

生我爷爷教我读的是“除于”。

师会观察、会提问，你们太棒了！刚才几个问题都和算式的读法有关。说实话，昨天老师看到“为什么读‘除以”这个问题的时候，都被难住了，这个问题真好！老师特地去查了字典，“除”这个字就是平分的意思，用一个数去平分另一个数。我们来看一看，刚才的例题中，是怎么平分的？

生6个人，每2人一份平均分的。

师那么“6÷2”是用哪个数去平分哪个数呢？

（学生沉默、思考。）

生每2个一份，把6平均分成了3份。

生是用2去平分6，2个2个地把6平均分了。

师有道理吗？真好！这里的“2”是除数，也就是用来平分的数，那被除数呢？

生就是被平分的数。

师老师也是这样想的。所以6÷2就是用2去平分6，6被2平分了。在我国古代，会说成“二除六”，或者“以二除六”，就是刚才说的用2平分6的意思。

生那为什么不写成“2÷6”呢？

师这是一个好问题！我们中国古代并没有除法算式，都是用文字表示的。“6÷2”这种表示方法是三百多年前一个瑞士人发明的，用来表示6被2平分，流传到我们中国以后，从左往右读，就成了“6除以2”，和我们古代的“以2除6”是一个意思。

（学生都流露出惊讶的表情。）

生原来这种除法算式是外国人发明的呀！

生原来并不是“÷”读“除以”，而是整个算式的意思。

生读“除于”肯定是不对的了。

……

古人云：“学贵在疑，小疑则小进，大疑则大进。疑者，觉悟之机也。”其实，学生好问的天性一直都在，需要我们呵护。

让“真问题”走进课堂，也给我们打开了一扇窗，让我们有机会和学生一起，将一些以往未曾看见的“面纱”逐一揭开。

*本文系安徽省教育科学研究项目“核心素养视域下小学数学基于‘真问题教学的实践研究”（编号：JK19103）的阶段性研究成果。教师手记