证明不等式的基本方法

张莉

【教材分析】

本节内容是选修4-5第二讲的内容，是必修中不等式内容的延续。证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法等。比较法是证明不等式的最重要方法，是解决不等式证明和解决与不等式有关的数学问题的重要方法之一。本节课以介绍比较法证明不等式为主。

【学习目标】

1.知识与技能：理解和掌握比较法证明不等式的理论依据，能利用比较法证明不等式。

2.过程与方法：通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用。

3.情感、态度与价值观：通过比较法的学习，体会数学思维的严密性。能熟练运用比较法来证明不等式。

【教学重难点】

1.重点：理解和掌握比较法证明不等式的依据。

2.难点：比较法的熟练应用。

【教学方法】

啟发引导式;应用类比的教学法进行比较式教学。

【教学过程】

一、趣味导学

民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不应小于百分之十，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了呢？请同学们思考回答。

（设计意图：通过实际生活中的小问题引入新课，提升学生学习兴趣）

二、基础认知

1.作差比较法

2.作商比较法

如果a、b都是正数，要证a>b，只需证>1;

如果a、b都是负数，要证a>b，只需<1。

比商法要注意使用条件，若>1，不能推出a>b。这里要注意a、b两数的符号是同正还是同负。

（设计意图：通过基础认知，明确作差比较法与作商比较法的理论依据）

三、典例剖析

说明：此题在证明过程中，采用了分组分解因式的方法，将差式变形为多个因式的积，然后由各个因式的正负得出因式乘积的正负，从而判断差值正负。

小结：作差法步骤：作差—变形—判断符号—下结论。

（设计意图：通过例1的学习，掌握作差法的步骤，判断符号是关键。通过适当变形达到目的）

小结：（1）作商法适用于积、商、幂、对数、指数、根式形式的不等式证明。（2）步骤：作商—变形—判断与比较—下结论。作商变形要将商式化到最简。当差式或商式中含有字母时，需要对字母的取值进行分类讨论。

（设计意图：通过例2及变式训练掌握作商法的步骤、适用题型、注意事项。培养学生分类讨论的思想）

四、巩固提升

通过小组合作探究学习，分组展示不同解法。

目标要求：（1）如何做;（2）哪种方法更适合;（3）你有什么收获。

（设计意图：通过小组合作、展示、教师点评等，深化学生对比较法的理解，并能灵活应用比较法解决问题）

五、课堂小结

请大家回顾本节课的学习内容，谈一下自己的体会。

（设计意图：通过学生总结、教师归纳，形成完整的知识网络，达到掌握通法、灵活应用的教学目的）

六、课后作业

1.课本P23习题2.1的1，2，3，4题。

2.思考题：糖水加糖会变甜吗？说明理由。

3.已知a>b>c，求证：a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2。

（设计意图：课后作业分为基础题与思考提升题目，满足不同层次学生需求，在巩固本节知识的基础上提升能力）