例谈“构造辅助函数”在不等式问题中的应用

李永杰

摘 要：在高中数学知识中，“构造法”是一种极具创造性的数学思想方法，利用“构造法”解题可以更直观、更简单的解决比较复杂的数学问题.本文结合实例，着重介绍“构造辅助函数”在不等式问题中的常见应用.

关键词：数学思想构造法辅助函数;不等式

“构造辅助函数”是高中数学“函数思想”的重要体现，对于一些不等式中的求参数范围、不等式证明等问题，若通过构造辅助函数，再进一步研究所构造函数的性质求解，问题将变得简单.下面通过实例加以说明.

一、直接构造法

例1.实数k为何值时，不等式ex≥kx对任意x∈R恒成立？

解析：方法1：由于，构造函数，求导考察单调性，确定函数最小值m，只要m≥0即可.，讨论如下：

（1） 若k<0，则f'（x）>0，f（x）是R上增函数，f（x）值域为（-∞，+∞），无最小值;

（2） 若k=0，则由ex≥0知原不等式对任意x∈R恒成立;

（3） 若k>0，则解，得x=lnk.

当时，;当时，.

故x=lnk为极小值点，是极小值.

又，，故f（lnk）也是最小值.

于是解，得

综上，实数k的取值范围为[0，e].

方法2（分离参数）：当x>0时，;当x<0时，

设，则问题转化为求f（x）在x>0时的最小值及x<0时的最大值.（以下略）

评注：上述两种构造函数的方法存在差异：方法（1）是直接构造，方法（2）是分离参数后再构造，前者过程略显复杂。

二、稍作变形后再构造

例2.设函数（x>0且x≠1）

（1）求函数f（x）的单调区间;

（2）已知对任意x∈（0，1）成立，求实数α的取值范围。

解析：（1）略

（2） 若直接构造函数，则求导困难，受第（1）小题启发，可将不等式作如下变形：在两边取对数，得，考虑分离变量：由0-eln2，故α的取值范围为.

评注：观察所给式子结构特征，寻找（2）中不等式与（1）的联系.当不等式中出现指数式时，可尝试先对不等式两边取对数，然后再构造辅助函数.

三、构造双函数

例3.对一切x>0，都有.

分析：本题若直接构造函数求导，则难以判断导数符号，导数的零点也不易求出，因此单调性和极值点都不易获得.从而需要先变形，采用更加灵活的构造方法.

证明：设f（x）=xlnx，，求导得f'（x）=1+lnx，.

易知，当时，，当x=1时，. 又两个最值不是在同一点取得.所以f（x）>g（x），变形即得原不等式.

评注：本题突破只构造一个辅助函数的常规思路，构造两个函数，一个有最小值，一个有最大值，解法巧妙.其实，这并非新奇的方法，而是基于按常规构造将出现“不易求出导数零点，从而无法求出函数最小值”的困惑，由此所作的变式处理策略而已.

以上通过实例，展示了“构造辅助函数”在不等式相关问题中的应用.“构造辅助函数”是高中数学“函数思想”的重要体现，其巧妙之处在于不直接求解所给问题A，而是通过构造一个与A相关的辅助函数B，通過对函数B性质的考察，不仅可以解决问题A，而且使得过程简单明了.

参考文献

[1]《中学数学教学参考》2018.7

[2]《数学通讯》2019.10