高中数学学习中函数最值的问题求解方法分析

韦雷

摘 要：随着新课程改革的逐渐深入，高中阶段的教学中，越来越重视学生拓展性思维和解题能力的培养。数学一直都是教学中的核心学科，而在高中数学教学中，最值得问题既是重点，也是难点，更是历年高考的频繁考点。因此在实际的教学过程中，让学生掌握有效的求解方法，这对于学生数学思维的形成以及成绩的提升具有关键的价值。本文笔者将针对高中数学学习中函数最值的求解方法中配方法、换元法、单调性法和数形结合法四个方面进行详细分析，希望能够对学生解答函数最值问题提供一定的参考价值。

关键词：高中数学;函数最值;求解方法

对于函数的最值问题一直是被谈论最多的话题，其主要的内容涵盖了基本的函数性质问题、导数问题、均值不等式问题、线性规划问题、向量问题等，其范围基本上包含代数、三角形以及几何等方面，其最值的求解方式的分析，主要是为了培养学生对于数形结合、转化思维等思路的培养，以下笔者将针对此进行细化的分析。

一、配方法的运用

对于配方法的运用上，它是函数最值问题求解过程中运用最多的方式之一，其主要运用的范围就是二次函数或者是复合函数中，通过对相关分项的整理、转化形成二次函数的形式，学生通过对自变量的取值范围进行带入，即可取得函数的最值。

例如：在解答“求函数f（x）=-x2+4x-6，x∈[0，5]的值域”这个题目时，首先教师要引导学生对题目的变量条件进行分析，让学生将题目函数根据数量关系配方形成函数f（x）=-X2+4X-6=-（x-2）2-2;然后教师让学生观察函数，当自变量x∈[0，5]时，函数在什么时候取最大值，即-（x-2）2=0时，然后将x=2带入方程，可取得函数最大值，所以说，当x=2时，函数值取最大值f（x）=-2;那么只有当（x-2）2在自变量范围内取最大值时，函数才能取得最小值，即当x=5时，函数取最小值f（x）=-11，那么这个函数的值域就是限定在[-11，-2]。配方法的运用可以说是函数最值求解中相对较为简单的方式，很容易让学生理解记忆。

二、换元法的运用

对于换元法的运用，基本上都是在基本初等函数的最值求解中运用最为普遍，从基本的运用上就是以一个假定项代替题目中的不确定项，将假定项带入原方程，然后根据假定项的取值范围求解函数最值。

例如：求函数y=x+√（x-1）的值域。这一问题，如何才能将换元法运用到函数的求解上呢？首先，教师让学生观察函数解析式的基本形式，存在x与√（x-1）两个变量;其次，让学生寻找变量t代替√（x-1），即t=√（x-1），t≥0，那么x=t2+1，将t带入方程即可得到y=t2+1+t，再通过配方法即可得到y=（t+1/2）2+3/4，从函数的自变量上分析，t≥0，由二次函数的性质分析，当t=0时，函数取最小值，即ymin=1，当函数t→0时，ymax→+∞;最后，函数的值域即可求得，值域为[1，+∞]。

三、单调性法的运用

对函数的最值求解问题，不仅有配方法和换元法，还有根据函数的单调性进行求解，即根据函数的变量范围，求解函数在不同变量范围内的最值问题，单调性法主要被应用于复合函数最值的求解中。

例如：求解问题，首先教师要引导学生根据函数的特点寻找出函数的单调性，利用换元法将函数项（x2-3x+5）替换为t（0≤x≤2），然后函数就变为log1/2t，根據函数的值域范围，即可得到函数f（x）在（0≤x≤3/2）上属于递减函数，而在（3/2≤x≤2）上为递减函数，根据函数的性质分析，即在x=3/2上取最大值，f（x）max=f（3/2）=log1/211/4，其最小值的求解就需要从变量x=0或x=2上得出，即f（0）=log1/25，f（2）=log1/23，通过比较分析，即可得出f（x）min=log1/25，然后学生就能很清楚的求出这个幂函数的最值区间，即函数值域为[log1/25，log1/211/4]。这样单调性法的运用，还经常地被用到三角函数之中，这里需要在注意的就是函数的取值范围，注重分析函数的性质，并不是每个函数都有一个最值区间或最值点。

四、数形结合法运用

对于函数的最值问题求解上，从实际的方法运用上，数形结合法可以说是最为普遍和常用的，数形结合不仅可以让学生学生通过数与形的结合中寻找出数量间的关系，还可以让学生更为清楚地认识几何函数的特点。对于数形结合法的运用，一般情况下都是被应用于几何意义的函数最值求解。

例如：已知x2+y2-2x+4y-20=0，求x2+y2的最值是多少？这个问题看似是一个简单的二元二次方程，但是如果从数据之间的关系上分析，通过转换即可得到方程（x-1）2+（y+2）2=25，通过这个方程分析，学生结合数形关系就会得到一个以P（1，-2）为圆心，半径r=5的圆，这样就将这个方程的最值问题转换为方程x2+y2与圆结合的最值问题，求解过程中设定x2+y2=u，根据原方程移项可得u=2x-4y+20，那么y=x/2+（20-u）/4，即斜率为1/2的直线与圆相交，那么u的最值问题，就转换为求解直线在y轴的截距最值问题，根据数形结合就可以得出圆心到切线的近距离只能是小于或这等于圆的半径，即最最小值就变为5-√（12+22），最大值则为

5+√（12+22），那么x2+y2min=5-√5，x2+y2max=5+√5。这样的数形结合的运用学生能够很清晰的看出数量的变化与关系，提升学生的阶梯效率和质量，这对于学生成绩的提升具有重要价值。

结束语

综上所述，这些对于函数最值求解方式的分析，不仅可以为学生提供更为丰富的学习思路和解题方法，而且，这些方法之间的灵活运用还可以帮助学生形成一个更具逻辑性和条理化的数学思维，实现学生学习和解题效率的全面提升。以上论述仅为笔者个人的想象与看法，除了以上的解题方法之外，还有很多方式，期望广大的数学教师继续进行探索。

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