“幂函数”教学设计

王琦 雷晓莉

摘  要：幂函数是一类重要的基本初等函数.本节课在回顾初中研究函数的经验的基础上，梳理研究一般函数的内容、方法和路径，进而按照这样的路径对幂函数展开研究. 学生经历函数图象与性质的多种探究方式，体会数与形的紧密联系. 幂函数的研究过程既是对高中所学的函数概念、表示法和基本性质的进一步理解和应用，也为后续其他函数的研究做出了示范.

关键词：幂函数;图象与性质;数形结合

一、内容和内容解析

1. 内容

幂函数的定义，[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，[y=x-1]，[y=x12]五个幂函数的图象与性质.

2. 内容解析

幂函数是一类重要的基本初等函数，实际生产生活及科学研究中涉及的很多函数都是由幂函数及其他基本初等函数进行运算、复合得到的.

学生初中学习过的一次函数、二次函数和反比例函数都是由幂函数[y=x0]，[y=x]，[y=x2]，[y=x-1]经过运算得到的，幂函数[y=x]，[y=x2]，[y=x-1]也是最基本的一次函数、二次函数和反比例函数，学生对他们的图象和性质都非常熟悉. 从这个角度来说，幂函数的学习是在此基础上的自然延伸.

在教材中，幂函数这一部分的学习被安排在函数的概念及其表示和函数的基本性质之后，指数函数与对数函数之前. 一方面，在学生系统学习了一般函数的概念、表示法和基本性质之后，幂函数作为一类最基本的函数，承载着从一般到特殊应用所学知识来研究和表达具体函数的功能;另一方面，幂函数作为高中阶段学生研究的第一类具体函数，在研究内容、方法和路径上对后续学习其他函数起着一定的示范性作用.

基于以上分析，本节课的教学重点是幂函数的图象与性质.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）了解幂函数的定义，会作出函数[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，[y=x-1]，[y=x12]的图象，理解它们的性质并能进行简单应用.

（2）通过对幂函数的研究，体会研究一种具体函数的内容和方法.

（3）在对具体函数的图象与性质的探究过程中，理解函数图象与性质的探究方法，感受数与形的相辅相成，体会数形结合的思想方法，发展直观想象、逻辑推理和数学运算素养.

2. 目标解析

达成以上目标的标志如下.

（1）能从几个具体的幂函数解析式的共性中抽象出幂函数的一般形式;会作出函数[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，[y=x-1]，[y=x12]的草图，并根据图象得到它们的性质;能应用幂函数的性质解决一些简单问题.

（2）在研究幂函数之前，先根据初中研究函数的经验制定出探究方案，确定探究内容和方法，进而依照方案实施研究，并在过程中对实施细节进行合理调整，经历研究函数的完整过程.

（3）在对[y=x3]和[y=x12]的图象和性质进行研究的过程中，体验不同的研究方式，感受形的直观、数的精确，以及数与形的紧密联系、对立统一. 在运用定义判断函数[y=x12]的单调性的过程中，发展数学运算素养.

三、教学问题诊断分析

学生在初中阶段学习过一次函数、二次函数和反比例函数，对于函数的研究积累了一定的经验，但缺乏方法的梳理和总结. 本节课先引导学生对经验进行梳理，总结出函数的研究内容、方法和路径，这既为本节课的研究提供了方案，也为后续其他函数的研究提供了模板.

初中阶段，学生基本都是通过列表、描点作出函数的图象，再根据图象直观感知函数的性质. 经过本章前一阶段的学习，学生掌握了用符号语言精确刻画函数单调性和奇偶性的方法，可以直接通过解析式分析函数的单调性和奇偶性，这使得函数图象与性质的探究方式有了更多的可能. 本节课中，教师引导学生体验这些探究方式，使学生在探究过程中感受数与形的相互转化和紧密联系.

基于以上分析，确定本节课的教学难点在于幂函数图象与性质的探究.

四、教学过程设计

1. 从实际情境中抽象出幂函数的定义

问题1：回答下列问题.

（1）如果张红以1元 / kg的价格购买了某种蔬菜[w kg]，那么她需要支付的价钱[p]是多少元？这里[p]是[w]的函数吗？

（2）如果正方体的边长为a，那么正方形的面积S是多少？这里S是a的函数吗？

（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V是多少？这里V是b的函数吗？

（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c是多少？这里c是S的函数吗？

（5）如果某人[t s]内骑车行进了[1 km]，那么他骑车的平均速度[v]是多少？这里v是t的函数吗？

师生活动：教师给出实际情境，学生思考后得出五种情境所对应的函数解析式. 其中，对于（4）中的[c=][S]，教师须告知学生[S]也可以记作[S12];对于（5）中的[v=1t]，教师应引导学生将其表达为[v=t-1].

【设计意图】函数是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具. 从这一系列实际问题中，学生可以感受到客观世界中很多变量关系可以用幂函数表示，从而体会到研究幂函数的必要性和幂函数的应用价值. 中学阶段学习的几种函数都有着它们的实际背景. 幂函数是高中阶段学习的第一类具体函数，从实际背景中抽象出幂函数的概念，对高中阶段其他函数的研究具有示范作用. 同时，对实际问题进行抽象也是很多数学概念和问题产生的方式.

问题2：这些函数在解析式的结构上有什么共同特征？

师生活动：教师引导学生抛开现实意义，关注几个函数解析式的结构. 通过观察，学生发现这些函数的函数值都是自变量的若干次方. 教师引导学生将几个函数中的自变量都用[x]表示，函数值都用[y]表示. 学生发现这几个函数的解析式都具有[y=xα]的形式，其中[x]是自变量，[α]是常數. 由[xα]的运算结果叫做幂，引出幂函数的名称，从而点明课题并板书幂函数的定义：一般地，函数[y=xα]叫做幂函数，其中[x]是自变量，[α]是常数.

【设计意图】从实际背景中抽象出数学模型是一个较难的思维过程，需要教师引导进行. 学生经历并体会这个从众多事物中抽取出共同的、本质性的特征，舍弃非本质性特征的抽象过程，提升数学抽象素养.

追问：根据定义，你能再列举出几个幂函数吗？

师生活动：学生根据定义进行举例，认识幂函数解析式的结构特征. 教师引导学生将[α]取不同类型的常数，并指出当[α]取其他实数时，幂的含义会在后续课程中学习.

【设计意图】根据定义进行举例，需要学生在理解定义的基础上，整合现有知识，举出例子并进行判断，是一个综合的思维过程. 这个过程可以培养学生提出问题、分析问题的能力.

2. 探究幂函数的图象和性质

环节1：梳理研究路径，明确研究内容.

问题3：结合以往学习函数的经验，我们应该如何研究幂函数？

师生活动：教师引导学生回忆初中研究一次函数、二次函数和反比例函数的内容、过程和方法. 学生总结经验，归纳出研究具体函数的基本路径：定义—图象—性质—应用.

【设计意图】学生初中阶段学习过一次函数、二次函数和反比例函数，初步积累了研究函数的基本活动经验. 调动学生回忆初中研究函数的内容、过程和方法，不仅可以通过对这些基本活动经验的梳理规划幂函数的研究路径，也可以为后续课程中其他函数的研究做出示范.

追问1：如何作出幂函数[y=xα]的图象？

师生活动：学生发现幂函数[y=xα]是一类函数，指数[α]的取值不同，函数就不同，图象也是不一样的. 教师引导学生回忆初中探究正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质时对参数的处理方式. 学生根据初中研究函数的经验想到从特殊到一般，对[α]取一些特殊值进行研究，考查图象是否存在规律性. 教师提议本节课抛砖引玉，只从[α]为正整数的情况中选取三个较简单的，即[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，从[α]为负整数的情况中选取一个较简单的，即[y=x-1]，从[α]为分数的情况中选取一个较简单的，即[y=x12=x]进行研究. 掌握研究方法后，对于其他幂函数的图象，可以让学生课后自行探究.

【设计意图】引导学生借助初中研究函数的经验，找到处理幂函数中参数的方法，确定从特殊到一般的研究思路.

追问2：在研究它们的图象和性质之前，我们应该先明确什么？

师生活动：学生回答“定义域”，并求出这五个幂函数的定义域. 教师关注学生是否注意到了定义域应写成集合的形式.

【设计意图】研究一个函数首先要明确其定义域，设计这个问题正是为了帮助学生强化这一认识.

追问3：作出函数图象后可以研究哪些内容？

师生活动：学生回忆本章所学内容，提出值域、单调性、奇偶性等，教师板书列表呈现研究内容，如表1所示.

【设计意图】梳理一个具体函数的研究内容并用表格呈现出来，这为本节课后面的研究搭建了框架，有助于学生建立研究具体函数的一般思路. 此外，将研究结论通过表格形式呈现，便于学生将几种函数的图象和性质进行对比，发现规律.

环节2：探究五个幂函数各自的图象和性质.

问题4：将函数[y=x]，[y=x2]，[y=x-1]的图象和性质填入表格相应位置.

师生活动：根据初中所学相应结论，学生代表将黑板上函数[y=x]，[y=x2]，[y=x-1]的对应表格补充完整，其余学生在笔记本上完成. 教师针对黑板上表格的填写情况进行适当点评，如定义域、值域要写成集合形式，[y=x-1]单调区间的写法等，如表2所示.

问题5：如何得到函数[y=x3]的图象？

师生活动：学生回答“列表、描點、作图”.

追问1：自变量取哪些值进行描点？

师生活动：学生可能取-2，-1，0，1，2.

追问2：能不能减少描点的个数？

师生活动：教师引导学生思考哪种性质对函数的研究有事半功倍的作用. 学生经过思考，不难发现[y=x3]是奇函数，图象关于原点对称，可以先作出[y=x3]在y轴右侧的图象，再根据对称性就可以得到y轴左侧的图象了. 学生在笔记本上完成作图并填写函数性质，学生代表展示结论，师生点评并总结出研究函数时可以在明确定义域后优先考查函数的奇偶性.

【设计意图】通过函数[y=x3]的图象与性质的探究过程，使学生体会到：在研究函数的过程中，为了提高研究效率，应该优化研究顺序，如优先考查函数的奇偶性.

问题6：如何探究函数[y=x12]的图象和性质？

师生活动：学生根据上一问题总结的经验，考虑优先考查函数的奇偶性.

追问1：函数[y=x12]的奇偶性如何？

师生活动：学生发现函数[y=x12]的定义域不关于原点对称，从而判断出函数[y=x12]为非奇非偶函数.

追问2：既然奇偶性可以不借助图象判断，那么单调性是否也可以直接判断呢？

师生活动：学生经过思考认为可以用单调性的定义来判断.

追问3：用定义判断函数单调性的步骤是什么？

师生活动：学生回忆前面所学知识，回答出“任取—作差—整理—断号—结论”的步骤. 进而师生依照步骤判断函数[y=x12]的单调性. 其中，“整理”这一步对学生而言是个难点，学生很难独立想到“分子有理化”的方法，需要教师介绍. 师生共同完成对函数的单调性的判断.

追问4：根据函数[y=x12]的定义域、奇偶性和单调性，你能否画出它的示意图？

师生活动：学生在笔记本上作出符合定义域、奇偶性和单调性的函数示意图，但不同学生的示意图凹凸性可能有所不同. 教师巡视并将典型的示意图拍照展示. 教师引导学生认识到可以通过描出几个特殊点来判断函数图象的走势，并在课堂上运用信息技术快速得到函数[y=x12]的图象. 教师要帮助学生认识到对函数性质的研究，可以让我们对函数的图象有一个大致的认识，对性质探究得越深入、细致，对图象的刻画就越精细，在后续课程中还会对函数的更多性质进行研究.

【设计意图】初中阶段，学生大多数情况下只能通过图象来直观感知函数的性质. 在前几节课中，我们用精确的符号语言定义了函数的单调性和奇偶性，学生可以直接通过函数的解析式分析函数的性质. 这就使得我们可以根据函数的性质分析图象的特征，从而丰富了得到函数图象的方法. 对函数[y=x12]的图象与性质的教学设计，是为了让学生经历更多的探究方式，感受多种探究方式的特点，为今后更加灵活、高效地研究具体函数做准备. 此外，数与形是相互联系、相互转化的，因此从形来认识数、从数来认识形都是教学中要引导学生体会的，这里的设计也有这样的目的.

环节3：探究幂函数的性质.

问题7：通过对这五个函数的分析，我们发现他们的图象和性质有着各自的特点，那么它们作为一类函数，有没有什么共性呢？我们将这五个函数的图象放到同一坐标系中观察一下，有什么发现吗？

师生活动：教师展示五个幂函数在同一坐标系下的图象，学生观察图象发现它们存在公共点，师生从数的角度说明这个点是所有幂函数的必过点. 学生还可能发现这五个函数图象都经过第一象限，都不经过第四象限. 教师可以引导学生从函数的奇偶性、单调性、渐近性等角度对这几个函数的性质进行梳理. 学生通过前面总结的表格容易猜想“[α]为奇数的幂函数是奇函数，[α]为偶数的幂函數为偶函数”，证明留给学生课下完成. 对于幂函数在[0，+∞]上的单调性，学生可能会猜想“当[α>0]时，幂函数在[0，+∞]上单调递增;当[α<0]时，幂函数在[0，+∞]上单调递减”. 教师肯定学生的认真观察和积极思考，建议学生课后作出更多幂函数的图象来进一步验证猜想，对于比较肯定的猜想可以尝试加以论证，并告诉学生这就是科学研究经常用到的方法.

对于学生发现的性质，如果时间允许，教师可以通过信息技术软件演示验证.

【设计意图】幂函数作为一类函数，是否存在共性和规律呢？这是由特殊到一般的探究思路. 学生通过研究五个特殊幂函数的图象和性质，容易对一般幂函数的性质进行猜想. 在这个过程中，学生从形到数，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决部分问题的过程，体会数与形的联系，提升“四能”. 此外，由特殊到一般，观察、猜想、论证的过程也正是很多科学研究的过程，学生经历这样的过程有助于体会科学研究的方法，提升科学探究的能力.

3. 幂函数的应用

问题8：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.

（1）[-1.53， -1.43];

（2）[1.5， 1.4].

师生活动：学生经过思考，利用本节课所学函数的单调性比较大小，口答结论. 教师根据学生的作答情况，进行追问或点评.

【设计意图】该问题是幂函数性质的简单应用. 学生通过解答该题，体会利用函数的单调性比较大小的方法.

问题9：已知函数[fx=x3]，且[ft2+t+1<-f2-t2]，求实数[t]的取值范围.

师生活动：学生经过思考，利用本节课所学函数[y=x3]的性质进行解答. 学生之间可以互相启发和补充. 教师根据学生的作答情况，进行引导、追问和点评.

【设计意图】该问题是幂函数性质（奇偶性、单调性）的综合应用.

4. 课堂小结

问题10：通过今天的学习，你认为对一个新函数应该研究哪些内容？如何研究？

师生活动：师生共同归纳出研究函数的步骤.

（1）明确函数的概念及定义域.

（2）探究函数的图象与性质.

（3）函数的应用：数学应用、实际应用、科学应用.

其中，对于函数图象与性质的探究，在初中主要是先作出图象，再探究性质. 通过前面几节课的学习，我们对函数的性质有了更进一步的认识，既可以通过图形语言来直观感知，也可以运用符号语言来严谨论证. 数与形的联系更加紧密，图象与性质的研究方法更加灵活，希望学生课下认真体会.

【设计意图】学生回顾研究函数的过程、内容和方法，强化基本活动经验. 用精确的符号语言定义函数的性质后，教师引导学生体会函数图象与性质的研究方法更加丰富，数与形的联系更加密切，数与形的转化更加灵活.

五、目标检测设计

1. 已知幂函数[y=fx]的图象经过点[2， 2]，试求出这个函数的解析式.

【设计意图】考查幂函数的定义.

2. 利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.

（1）[-1.5-1]，[-1.4-1];

（2）[-1.52]，[1.42].

【设计意图】考查幂函数[y=x-1]和[y=x2]的性质.

3. 试独立探究函数[fx=x-2]的图象和性质.

【设计意图】考查探究函数图象与性质的方法.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

收稿日期：2020-11-02

作者简介：王琦（1983— ），女，中学一级教师，主要从事中学数学教学研究.