基于学习方法指导的新课教学

摘  要：函数的奇偶性是函数的重要性质. 本节课设计了一系列问题串引导学生的数学思维活动，教学中体现了研究函数性质的一般思路，从具体到抽象，从特殊到一般，归纳概括，并让学生学会用数学语言精确刻画函数的奇偶性. 函数的奇偶性是函数特殊对称的代数表达，掌握了函数的奇偶性的研究，学生就可以类比函数奇偶性的研究方法研究函数的一般对称的性质. 因此，本节课的教学定位为：学生在掌握知识、方法的过程中学习数学思想方法，从学会观察、思考逐步走向学会学习.

关键词：学习方法;函数;奇偶性;新课教学

为了响应党中央和国务院提出的扶贫攻坚计划和精准扶贫的号召，2020年10月20日，由中国教育学会中学数学教学专业委员会、福建省教育学会数学教学委员会主办的“中央苏区、革命老区中学数学教师培训”活动在福建省建宁县举行，笔者有幸参与此次活动，收获颇丰. 在研讨会上，北京市第五中学的王琦老师开展了一节“奇偶性”现场研究课，这节课的设计理念及教学实施过程，都得到了当地教师及专家的充分肯定，也引发了教师的讨论与思考. 针对“奇偶性”这节课的设计与实施，笔者谈谈自己的思考与理解.

函数是客观世界中运动变化现象的重要模型，函数模型反映事物的变化规律，函数的性质就是对函数模型所反映的变化规律的刻画，研究函数的性质就是为了把握这些变化规律，进而精确地认识函数模型，解决问题. 函数的奇偶性是函数对称性的特殊情形，掌握了函数奇偶性的研究方法，就可以类比函数奇偶性的研究方法研究函数的一般对称性. 因此，函数奇偶性新课教学的核心不仅是让学生掌握用代数的方法刻画函数关于[y]轴（原点）对称的代数表示，更重要的是要让学生学会研究问题的方法与策略，培养学生的思维水平，发展学生的数学学科核心素养.

一、突出研究问题的方法

1. 类比的研究方法

学生在前面的学习中学习了函数的概念和单调性，并用集合和逻辑用语表示了函数的概念与单调性，经历了研究函数单调性的过程，积累了研究函数单调性的方法，也就是说学生具备了类比研究的知识基础及基本活动经验. 函数的奇偶性是函数的第二个性质，与函数的单调性相比，函数的奇偶性相对简单，两者的研究方法也基本相同. 因此，本节课的内容完全可以类比函数的单调性来研究.

本节课的引入环节需要在学生思维的最近发展区提出问题，有的教师经常这样提问：上节课我们学习了函数的单调性，函数的单调性是什么？这样的问题围绕知识本身设问，与我们这节课需要的研究方法和研究策略有很大的距离，不能为这节课的展开提供具体的思路与方法. 我们提出的问题应该围绕本节课的核心，这样的问题才会有价值. 因此，在引入环节，我们这样设计问题：我们是如何得到函数单调性定义的？学生将会从研究的方法和过程（如画出函数图象、观察函数图象、归纳函数图象特征、用自然语言表示函数图象特征、用符号语言表示函数图象特征等）进行回顾，这些将为本节课的类比学习提供思想方法和具体的研究步骤，有利于新课的学习.

本节课除了从函数的单调性的研究方法和路径类比研究函数的奇偶性，还可以在研究偶函数的概念后，再通过偶函数的研究方法类比研究奇函数，让学生充分经历这样的研究过程，积累研究经验，构建研究路径，使学生在掌握知识的过程中学习研究问题的方法，从学会模仿到学会思考，逐步走向学会学习.

2. 从特殊到一般的研究方法

学生刚从初中升到高中，认知水平还有待发展，对函数奇偶性的学习应该以学生的认知为起点，从简单到复杂、从特殊到一般，也就是先给出具体的实例，然后寻找这些例子的共性，并把这些共性用数学语言表示出来. 但是实例的选取也是非常有讲究的，不是随便举几个例子就行. 有些教师在讲偶函数时给出下面的例子：[fx=x2]，[fx=2-x]，[fx=x4-x2]，[gx=2x2+11，] 然后通过信息技术画出这些函数的图象，让学生观察规律. 由于这些函数图象绝大部分都不是学生熟悉的，容易对学生学习新知识产生干扰. 实际上，例子的选取首先应该是学生熟悉的、简单的. 例如，偶函数[y=x2，y=x0，y=x;] 奇函数[y=x，] [y=x-1.] 也就是要用简单的例子来说明深刻的道理. 但是这些函数学生知道其图象，不会再用列表、描点画出图象，这就不容易找到表达函数对称的代数方法，学生不易由此归纳偶函数的概念. 因此，我们根据教学的需要，在偶函数的教学中让学生画函数[y=x-2]的图象，这个函数图象对学生来说是陌生的，教学中学生要经历列表、描点、画图，在这个过程中，让学生自己发现“当自变量取互为相反数的两个数时，函数的值相等”这样的特征，为抽象概括偶函数的定义做好铺垫和准备. 偶函数教学时补充了例子画函数[y=x-2]的圖象，奇函数还需要补充吗？其实，在奇函数的学习中，没有必要再补充画函数[y=x3]的图象. 一方面，奇函数是类比偶函数学习的，学生已经积累了代数刻画的方法，没有必要再经历一次;另一方面，函数[y=x3]的图象学生将在幂函数中学习，若前移至此，会增加本节课的难度，对学生掌握本节课的知识造成干扰.

二、体现研究内容的价值

学习新知识时，若能进行有意义的学习，也就是能明确知识的作用与价值，不仅能增强学生对知识本身的理解，也会对学生运用知识解决问题产生深远的影响.

函数的奇偶性是函数的“整体性质”，也就是定义域中任意一个[x]都满足的特性. 奇偶性刻画的是函数的对称性，而且是关于[y]轴（原点）的特殊对称，因此利用函数的奇偶性可以简化对函数的研究，达到事半功倍的效果. 教学时，要用好教材所给的例子，让学生体会函数奇偶性的作用与价值.

（1）判断函数[fx=x3+x]的奇偶性.

（2）图1是函数[fx=x3+x]的图象的一部分，你能根据[fx]的奇偶性画出它在[y]轴左边的图象吗？

（3）一般地，如果知道函数[fx]

为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？

三、注重语言的学习与应用

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）中提出了“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”，明确指出数学语言的表达是重要的课程目标. 因此，函数性质的学习不仅包含对函数性质的本质理解，还要加强对数学语言的表达和应用.

集合语言和逻辑用语的学习，为用数学符号进行表达提供了工具. 函数概念的学习及函数概念的符号表征，也为刻画函数性质提供了基础. 在函数奇偶性的教学中，教师应该引导学生观察函数的图象特征，然后把函数的图象特征先用自然语言表达，再把自然语言转化为符号语言.

例如，在偶函数的学习中，教学片断如下.

函数图象如图2 ～ 图4所示.

图象特征：函数的图象关于原点对称.

自然语言：自变量互为相反数时，函数值相等.

符号语言：一般地，设函数[fx]的定义域为[I，] 如果[？x∈I，] 都有[-x∈I，] 且[f-x=fx，] 那么函数[fx]就叫做偶函数.

这里的符号语言是表达的关键，涉及集合语言，如“定义域为[I]”“[x∈I]”等. 表达中的逻辑用语符号“[？]”，是这个概念的重点，也是难点之一. 这个命题的否定还从逻辑角度给出了判断函数不是偶函数的方法.

再如，在研究函数的分类时，函数可以分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数，这些函数的关系是什么？如何清楚地表达他们之间的关系？教师可以引导学生用Venn图（图5）来表示，让学生感受集合符号语言表达的直观、清晰、准确、简洁，体会数学语言的美，学会用数学语言表达世界.

逻辑用语和集合语言在数学表达上有很多优势，但学生刚刚开始学习逻辑用语和集合语言，对其理解还不是很深刻，应用还不是很熟练. 因此，语言的学习与使用也是本节课教学的重要内容，这一点在教学中容易被忽视.

四、注重思维水平的培养

对学生思维水平的培养是教学的重要目标，也是落实核心素养的具体措施. 在教学中，我们应该抓住一些关键环节对学生的思维水平进行培养.

函数的奇偶性这节课，有多个环节可以进行设计，以培养学生的思维能力. 例如，在函数奇偶性概念形成后，需要对概念进行巩固，有些教师会给出如[fx=x4，fx=x5，fx=x+1x，fx=1x2]等函数，让学生判断函数的奇偶性，由于这些函数的图象学生都不熟悉，需要利用函数奇偶性的定义进行判断，判断的过程能有效地落实函数奇偶性的概念. 但这样的设计就一定完美吗？有没有更好的设计？对于这个问题，我们设计成开放性问题“你还能举出哪些奇函数或偶函数？”让学生自行举例. 当然，举例后也需要通过定义判断函数的奇偶性. 学生在举例时，既要考虑函数的表达形式，又要考虑函数奇偶性的判断方法，这种开放性的设计不仅可以培养学生的发散性思维，而且对学生思维水平的要求更高，因此这种设计更有利于培养学生的思维能力. 再如，让学生归纳概括通过定义法判断（证明）函数奇偶性的步骤，有的教师从文字语言的角度进行概括，总结出三个步骤，我们在这个教学环节中，不仅从文字语言的角度让学生概括，还引导学生画出判断函数奇偶性的程序框图，如图6所示.

程序框图直观，判断的逻辑又很明确. 有教师可能会说，程序框图在《标准》中已经不作要求，學生也不再进行程序框图的学习，这样会不会增加学生的负担？其实不然，程序框图是一种数学的表达，在平时生活、学习中我们也在不断地使用，若平时能渗透在课堂教学中，对学生的数学表达，以及思维的有序性、逻辑性都非常有好处.

总之，教学需要用心设计，过程需要教师和学生用心交流，不断指导学生学习数学的方法，培养学生观察、归纳、概括的能力，以及逻辑思维能力，发展学生的核心素养，实现立德树人的教育目标.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

收稿日期：2020-11-02

作者简介：雷晓莉（1973— ），女，中学高级教师，主要从事中学数学教学、评价及教师培训研究.