指向“四个理解”的函数单调性教学设计研究

邓翰香 吴立宝

摘  要：章建跃先生提出的“四个理解”是应对新时代数学教育改革的根本保证. 从理解数学，明晰教什么;理解学生，明晰出发点;理解技术，明晰突破口;理解教学，明晰如何教. 精心设计函数单调性的教学，紧扣人教A版新教材，注重问题探究，突出重点、突破难点，促进学生在知识、能力、学科核心素养等方面获得发展.

关键词：四个理解;函数单调性;教学设计

数学教学作为把学术形态转变为教育形态的创造过程，是一种集科学性、人文性于一体的活动. 章建跃先生提出，基于深化教改要求的数学课堂教学，需要在课堂教学中切实落实理解数学、理解学生、理解技术、理解教学.“四个理解”是顺应新课改的教育理念，是提高数学教师专业发展水平的基石，是开展教学评价的重要标准，是提升教学质量的根本保证. 以函数单调性的教学为例，探究如何设计指向“四个理解”的函数单调性教学，以期为教师设计基于“四个理解”的课堂教学提供参考.

一、理解数学，明晰教什么

1. 把握本质，确立教学目标

教材是学科知识的重要载体，分析教材是教学设计的基础. 布鲁纳认为，有效的课堂教学开始于明确知道所期望达到的目标. 基于教材内容，揭示知识的来龙去脉，明晰教学的目标导向，挖掘知识中蕴涵的思想方法，注重结构体系的逻辑联系，以确保教学内容主线清晰.

“函数的单调性”选自人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）第三章“函数的概念与性质”中的第二节“函数的基本性质”. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》对“函数的单调性”内容的要求为“借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义”. 本节课主要学习用形式化的数学符号刻画函数上升或者下降的变化趋势，核心内容是对增（减）函数进行严格定义.

教学目标的设定要突出什么是函数的单调性、如何研究函数的单调性等体现数学基本思想的问题. 在研究内容层面上，学生在学习数学符号表达函数单调性定义的过程中，理解增（减）函数的概念，掌握用定义判断函数单调性的方法;在研究过程层面上，通过图象直观、代数运算揭示函数性质，重视研究函数性质的一般思路，关注函数在运动变化中的规律性和不变性;在研究方法层面上，构建从具体到抽象、从特殊到一般的过程，归纳出刻画函数单调性的方法，从而提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

2. 重在明道，弄清为何学习函数的单调性

函数的单调性是体现函数变化规律的基本性质，是解决与函数相关问题的有力工具，对函数其他性质的研究具有示范引领作用，为学生后续学习奠定思维基础. 具体表现为函数的单调性在对函数定性分析、比较大小、判定函数零点、求最值和极值，以及解决与其他知识的综合问题上都具有重要作用. 同时，为研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，以及导函数的内容奠定基础. 因此，它是高中数学中的核心概念之一，也是单元教学的战略要地.

二、理解学生，明晰出发点

1. 以学定教，分析学生学情

学生学情分析是学生特征分析，需要考量学生的学习前提、认知水平、接受能力，以及学习本节课存在的有利因素和潜在问题等. 每名学生都是独立的个体，课堂教学要凸显“面向全体学生，尊重个别差异”的理念. 奥苏贝尔认为，影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么. 因此，探明学生的学情并据此进行教学是实现数学教育性教学的重要基石.

从知识基础来看，学生在学习函数单调性定义之前，已经学习过集合、全称量词、不等式性质等内容，逐步适应了高中的数学学习方法. 新编教材中预备知识内容的学习，为学生开启函数主题内容做好了学习心理、学习方式和知识技能的准备，有助于学生衔接初、高中数学学习.

从思维基础来看，学生从“数”的角度去精确刻画函数图象“上升”“下降”的趋势，还缺少体验. 学生在初中的数学学习中，习惯从图形上观察和归纳出函数的性质. 高中数学更讲究理性，有关结论需要严格的推理.

因此，对于函数单调性的学习，学生既需要利用初中已经学过的一些常见的初等函数来帮助理解函数单调性的形式化表示，又需要運用高中预备知识中集合、全称量词、不等式性质等知识来进行函数单调性的符号化表达.

2. 旨在明势，弄清如何学习函数单调性

学生学习函数单调性，需要挖掘知识中所蕴含的教育特点，加强与学生已有知识的联系.

第一，从不同角度认识刻画变化的快慢. 从数的角度来看，体现的是自变量增加时，函数值在某个范围里增加或者减少的变化情况;从形的角度来看，反映的是函数图象上升或者下降的走势变化规律.

第二，抓住定义中“动静结合”的特点. 函数单调性定义中的“任意”或者“恒成立”等关键词，需要依据自变量与对应函数值的变化规律来判断，强调自变量需要“动”起来;而在[x1<x2]的前提下，判断[fx1<fx2]（或[fx1>fx2]）的过程则是一个静态的过程.

第三，注重图形语言、自然语言、符号语言的转化. 函数的单调性，最简单直观的方法是通过观察函数图象的变化趋势来进行判断，这是函数单调性的图形语言;将图形语言转化为自然语言，需要判断函数自变量增大时，对应的函数值的增大或者减少情况;而用符号语言来表示自然语言，从而利用符号语言判断函数单调性，是函数单调性学习的根本目的之一. 函数单调性概念逐步深化的过程，需要采用让学生认为有必要这样做的方式来实现自然过渡.

三、理解技术，明晰突破口

1. 发散思维，创新教学方法

信息技术的发展有助于课堂生态的改变，为教师因材施教提供了新的支持与思路. 章建跃先生认为，好的数学课堂教学需要有信息技术与数学教学内容有机整合的成分. 信息技术的运用，能够推动教学方法的创新，能够改进知识及其之间关系的呈现方式，能够有效增强学生对数学概念的理解，帮助学生解决数学学习上的困难.

函数单调性教学中信息技术的运用，既能将抽象性的数学学习对象形象化，为概括函数单调性概念提供背景支持;也能将静态化的数学对象生动展示，借助信息技术实现数学对象变化过程的可视化和连续性，帮助学生发现有序变化中的不变量和规律性，并归纳、推广. 因此，函数单调性的教学可以以信息技术为辅助工具，设计出函数动态变化的态势，达成从静态的教材语言体系向动态的教学话语体系的转换，最终实现向静态课堂目标的间接转换.

2. 动态直观，弄清如何破解重点和难点

函数单调性形式化定义的生成过程是函数单调性教学的重、难点. 基于学生已有的认知基础，借助GeoGebra软件直观演示，通过师生对话实现函数单调性定义的生成性突破. 信息技术的有效应用体现在两处. 一是借助GeoGebra软件直观展现函数[fx=x2]的数据变化过程：在[-∞，0]上，随着自变量[x]的逐渐增大，相应地函数[fx]的值逐渐减小;在[0，+∞]上，随着自变量[x]的逐渐增大，相应地函数[fx]的值逐渐增大. 将函数图象的数据变化规律动态展现，形成对函数单调性的定性认识. 二是借助GeoGebra软件定量刻画函数[fx=x2]：在区间[-∞，0]上，对于任意的[x1，x2，] 当[x1<x2]时，都有[fx1>fx2;] 在区间[0，+∞]上，对于任意的[x1，x2，] 当[x1<x2]时，都有[fx1<fx2.] 发挥多媒体形象、动态的优势，加深学生对“任意”的理解.

四、理解教学，明晰如何教

1. 遵循规律，设计教学过程

设计函数单调性的教学过程如图1所示.

章建跃先生认为，理解教学体现在对数学教学规律的认识水平和教学机智的敏锐程度. 函数单调性教学以问题串的形式设计教学内容，以探究的方法建构学习过程，让学生经历函数单调性定义的形成过程，遵循研究数学对象的一般规律，在提高学生课堂参与广度和深度的同时，激发学生实质性的数学思考. 基于此，函数单调性的教学过程设计如图1所示：第一，创设情境，明确概念（图形语言和自然语言描述）;第二，设置问题，形成冲突（为什么要学形式化定义）;第三，引导探索，生成新知（怎样用符号语言刻画单调性）;第四，学以致用，理解感悟（能解决什么问题）;第五，回顾总结，深化认识（形成认知结构）;第六，布置作业，拓展延伸.

2. 意在优术，弄清如何教学函数单调性

（1）创设情境，明确概念.

问题1：图2为某市某天24小时内气温随时间的变化曲线. 试根据曲线图说说气温的变化情况.

预设：学生直观感知气温变化，引发不同的关注点. 例如，气温的最值、某时间段气温的升降变化等. 从某时间段气温的升降变化引申到函数图象在某区间上“上升”或者“下降”的趋势，自然引入课题——函数的单调性.

问题2：观察图3 ～ 图5的函数图象，这些函数有什么变化趋势？

[O][x][y][y = x + 1][图3] [O][x][y] [图4] [O][x][y] [图5]

预设：图3中，从左至右函数图象是上升的. 图4中，当[x<0]时，从左至右函数图象是下降的;当[x>0]时，从左至右函数图象是上升的. 图5中，当[x<0]时，从左至右函数图象是下降的;当[x>0]时，从左至右函数图象也是下降的. 从直观感知到文字描述，归纳具体函数的图象特征，准确、规范地表达函数在某区间上具有怎样的单调性，完成函数单调性的定性刻画.

问题3：做出函数[fx=x2]的图象，完成下表并思考如何描述函数图象“上升”“下降”的变化趋势.

预设：从函数的对应关系出发，结合具体的数值可以发现函数[fx=x2]的图象的变化情况：当[x<0]时，[y]随着[x]的增大而减小;当[x>0]时，[y]随着[x]的增大而增大. 但是这些取值只是有限个，无法全部罗列. 为此可以借助GeoGebra软件进行动态演示，帮助分析. 在函数[fx=x2]的图象上任取一点[A]启动动画，观察点[A]的坐标. 可以发现，在[-∞，0]上，[fx]随着[x]的增大而减小，在[0，+∞]上，[fx]随着[x]的增大而增大，如图6 ～ 图9所示. 通过数量刻画，用自然语言描述出函数[fx=x2]的变化规律，为下面形成认知冲突做好铺垫.

（2）设置问题，形成冲突.

问题4：（1）图10是函数[y=fx]的图象（以[fx=][0.001x+1]为例），你能描述出在定义域[R]上[fx]随[x]的变化情况吗？

[O][x][y] [1][图10]

（2）你能描述出在区间[0，+∞]上函数[fx=][x+1x]随[x]的变化情况吗？

预设：（1）若直接观察函数图象，会缺乏精确性，需要结合函数解析式;（2）仅凭函数解析式，常常难以判断函数的单调性. 借此引发认知冲突，学生意识到利用符号语言判断函数单调性的必要性，自然开始探索.

（3）引导探索，生成新知.

问题5：怎样用符号语言描述函数[fx=x2]“在[-∞，0]上，[fx]随着[x]的增大而减小”“在[0，+∞]上，[fx]隨着[x]的增大而增大”？

预设：从自然语言到符号语言的刻画，为函数单调性定义的获得做铺垫. 突破“在[0，+∞]上，[fx]随着[x]的增大而增大”这一难点的方法如下. ① “增大”的符号化：利用不等式的性质，要作比较至少需要建立两个量的大小关系. ② “[x]的增大”的符号化：在定义域上取两个数[x1，x2，] 满足[x1<x2.] ③ “[fx]增大”的符号化：[x1，x2]对应的函数值满足[fx1<fx2.]④ “随”字的符号化：当[x1<x2]时，有[fx1<fx2.] ⑤ “在区间[0，+∞]上，[fx]随着[x]的增大而增大”的符号化：对任意的两个自变量[x1，x2∈0，+∞，] 当[x1<x2]时，都有[fx1<fx2.]

关于“任意”的理解，利用GeoGebra软件进行数学实验，用“任意”突破“无限”，加深理解. 对于函数[fx=x2，] 在[0，+∞]上任取[A，B]两点，保持点[A]的横坐标小于点[B]的横坐标，任意拖动[A，B]两点，引导学生观察，在[0，+∞]上，只要[x1<x2]时，都有[fx1<fx2]成立（如图11）. 在这一过程中，可以采用举反例强调说明.

问题6：如何用符号语言刻画函数[y=fx]在区间[D]上单调递增？并尝试给出增函数的定义.

问题7：类比增函数的定义，试用符号语言定义函数[y=fx]在区间[D]上单调递减，并给出减函数的定义.

预设：学生从特殊到一般、从具体到抽象归纳出增函数的定义，并尝试类比给出减函数的定义，培养学生的数学抽象与逻辑推理等素养. 值得注意的是，教材对“单调递增”与“增函数”、“单调递减”与“减函数”的概念进行了区分，仅把在整个定义域上单调递增（减）的函数称为增（减）函数.

问题8：（1）设[A]是区间[D]上某些自变量的值组成的集合，而且[？x1，x2∈A，] 当[x1<x2]时，都有[fx1<][fx2，] 能说函数[fx]在区间[D]上单调递增吗？你能举例说明吗？

（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数的例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数的例子吗？

在函数单调性定义教学后设置问题8，意在引导学生明确函数单调性是在给定区间上讨论的，函数在某个区间上单调并不意味着其在整个定义域内都是单调的，并且强调区间上[x1，x2]取值具有任意性等关键问题. 学生进行单调性判定，加强概念辨析，逐步深化对增（减）函数概念的理解.

（4）学以致用，理解感悟.

例1  根据定义，研究函数[fx=kx+b k≠0]的单调性.

例2  物理学中的玻意耳定律[p=kV]（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积[V]减小时，压强[p]将增大. 试对此用函数的单调性证明.

例3  根据定义证明函数[y=x+1x]在区间[1，+∞]上单调递增.

例1是利用定义来研究一次函数的单调性，同时也是对初中利用函数图象得到的结论的严格证明;例2是利用定义证明物理学中的玻意耳定律，特别注重培养学生数学表达的严谨性和书写过程的规范性;例3除按定义证明外，还可以引导学生用定义探究函数[y=x+1x]在整个定义域内的单调性. 例题的设置，使学生了解了定义法在讨论函数单调性问题中的作用，并掌握了证明函数单调性的基本步骤，让学生体验了代数推理的逻辑性，感悟了数学思维的严谨性与深刻性.

（5）回顾总结，深化认识.

课堂小结：（1）如何定义函数的单调性？为什么要有“任意”一词？（2）研究函数单调性体现的基本思想和方法是什么？

预设：教师给出提示性问题，引导学生自主小结，再小组合作相互補充完善，促使总结简明、精确.

（6）布置作业，拓展延伸.

教材第85页习题3.2：第1题、第2题、第3题、第8题和第9题.

通过习题的巩固练习，学生会根据函数图象求得函数的单调区间，掌握函数单调性的判定方法，拓展增（减）函数定义的等价形式，灵活运用函数单调性解决问题.

五、结语

从理解数学、理解学生、理解技术、理解教学四个视角阐述函数单调性的教学设计，旨在解决函数单调性教什么、为谁教、如何教、如何教得好四个基本问题，为教师提供一个基于教材进行有效教学设计的范例.

理解数学，帮助理清知识脉络、把握内容本质，是教好数学的前提;理解学生，有助于因材施教，是教好数学的基础;理解技术，让课堂教学插上技术的翅膀，是教好数学的关键;理解教学，使教学更优效，是教好数学的核心.“四个理解”强调着眼数学的内在力量、关注学生的长期发展、提倡技术的现代应用、回归教学的本来面目，彼此联系、相互依存，构成了“四维一体”的数学教学结构（如图12），是数学教学改革的驱动力，决定了新时代育德、育智所能达到的水平和效果.

总之，教师实施数学课堂教学的精华体现于站在学生终身发展的角度去思考如何理解数学知识、如何设计数学活动、如何帮助学生获得基本技能、如何发展学生的数学能力，进一步落实数学学科核心素养，最终达成育人目标.

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收稿日期：2020-09-30

基金项目：2019年天津市研究生科研创新项目——基于学科核心素养的数学教科书案例分析研究（2019YJSS112）.

作者简介：邓翰香（1997— ），女，硕士研究生，主要从事数学教育研究.