某型装备轴承件无失效时的可靠性参数估计

胡文林，吕卫民，孙晨峰

（海军航空大学，山东烟台264001）

威布尔分布是使用最为广泛的寿命分布之一，最早由瑞典人威布尔于1951年提出[1]。威布尔分布的优越之处主要体现在对小样本抽样和对各种类型试验数据有着很强的适应能力。威布尔分布是一种具有普遍适应性的分布，其在寿命分析中有着广泛应用[2-7]。

当前产品质量与可靠性稳步提高，主要得益于科技的迅猛发展。以此为背景，在定时截尾试验中的产品容易出现无失效数据，如何在无失效数据时合理地估计可靠性参数，具有重要的理论和实用价值[8]。Martz和Waller[9]最先研究了该类问题，茆诗松[10]、张忠占[11]等从经典统计学分析方法角度出发对这类问题进行了相关研究。然而，这些方法只有当样本量较大时才能得到较好的估计值。这对具有高可靠性、高成本的该型装备轴承件而言显然不合适。

文献[12]给出了只有一个失效数据时失效概率的E-Bayes（Expected Bayes）估计和多层Bayes 估计，指出E-Bayes 估计法计算更加简便且结果更加稳健；文献[13-16]各自研究了故障概率的Bayes 估计、多层Bayes估计和可靠度的估计。当前的文献大多只研究了超参数服从一种先验分布如均匀分布的情形，或者对可靠性参数作出估计，但没有进行系统的指标评估分析。

本文针对某型装备轴承件提出了2种可靠性参数估计模型，结合实例数据进行参数估计，并以稳健性、渐近性和单调性等指标对参数估计结果进行了分析，图1为本文的逻辑框图。

图1 可靠性参数估计的逻辑框图Fig.1 Logic diagram of reliability parameter estimation

1 失效概率的E-Bayes估计

疲劳失效是某型装备轴承件的主要失效模式之一，其疲劳寿命服从威布尔分布[17]。疲劳损伤开始形成于轴承表面下的细裂纹，随着载荷的持续作用，裂纹会扩展到表面，这将引起材料接触面松动。针对失效分布服从威布尔分布的该型装备轴承件，在无失效数据时，考虑失效概率的先验分布为Beta分布的前提下，给出了失效概率的2种E-Bayes估计模型。

1.1 失效概率的先验分布

对于本文所讨论的威布尔分布及其失效概率，pi=P(T ＜ti)，pi表示样品在ti时间内发生失效的概率，i=1,2,…,m；ti表示第i 次定时截尾试验的截尾时间。失效分布为：

式（1）中：t ＞0，β ＞0，η ＞0，β 和η 分别是威布尔分布中的形状参数和尺度参数。

其对应的共轭先验分布为Beta分布，则pi密度函数为：

因而，当0 ＜a ＜1，b ＞1 时，π(pi|a,b)为pi的减函数。基于对Bayes 估计的稳健性的考虑，超参数b 取值越大，先验分布的尾部将越细，这会使Bayes估计具有越差的稳健性[18]。因此，对b 设立一个上界s，s ＞0为某一常数，由此确定超参数的取值范围为0 ＜a ＜1，1 ＜b ＜s，且0 ＜pi＜1。

1.2 失效概率的E-Bayes定义

1.3 失效概率的E-Bayes估计

证毕。

2 分布参数与可靠度的估计

2.1 失效概率的E-Bayes定义

根据式（9）、（10），在模型1和模型2中，可以对分布参数η 和β 进行估计。

2.2 可靠度的E-Bayes估计

3 可靠性参数估计的指标分析

3.1 稳健性

稳健性最初源于统计学领域，它是一种专用术语，随着概念的不断丰富和完善，它逐渐在控制领域得到广泛应用，通常用于表征一种不敏感性，体现在系统对于外界扰动的一种感知和反馈[20]。对于产品，无论时间如何变化，产品特性始终保持一定的稳定性。本文主要以可靠性参数估计值的极差来表征由2种估计模型得到的估计值的稳健性，极差值越小，反映得到的可靠性参数估计值越加稳健。

3.2 渐近性

渐近性主要体现在随着定时截尾试验时间的推移，该型装备轴承件的失效概率在2 种模型下的估计值将趋于一致。当1 ＜s ＜zi+3 时，有如下结论[19]：

3.3 单调性

单调性是一个反映函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系的数学名词[21]。本文主要考虑随着时间的推移和超参数b 的取值上界s 的变化，失效概率和可靠度(t)会表现出一定的单调性，符合工程实际。

4 实例分析

根据该型装备轴承件的定时截尾试验得到的无失效数据如表1 所示。如前所述，该型轴承件的寿命服从威布尔分布。表1中，i 是截尾试验次数，ni是截尾试验样本数，ti是截尾试验时间。

表1 某型装备轴承件无失效数据Tab.1 Zero-failure data of bearings

表2 的估计结果Tab.2 Calculations of different estimations on

表2 的估计结果Tab.2 Calculations of different estimations on

失效概率p̂1EB1 p̂1EB2 Δp̂1EB p̂2EB1 p̂2EB2 Δp̂2EB p̂3EB1 p̂3EB2 Δp̂3EB p̂4EB1 p̂4EB2 Δp̂4EB p̂5EB1 p̂5EB2 Δp̂5EB p̂6EB1 p̂6EB2 Δp̂6EB s 3 4 5 6 7 8极差0.024 1250.023 6640.023 1450.022 6550.022 1910.021 7510.002 464 0.024 6060.024 2240.023 8590.023 5100.023 1750.022 8530.001 753 0.000 3910.000 5600.000 7140.000 8550.000 9840.001 1020.000 711 0.026 8150.026 1440.025 5150.024 9250.024 3680.023 8440.002 971 0.027 2950.026 8270.026 3830.025 9590.025 5550.025 1680.002 127 0.000 4800.000 6830.000 8680.001 0340.001 1870.001 3240.000 844 0.031 9650.031 0230.030 1510.029 3400.028 5840.027 8760.004 089 0.032 6460.031 9850.031 3620.030 7730.030 2150.029 6850.002 961 0.000 6810.000 9620.001 2110.001 4330.001 6310.001 8090.001 128 0.036 6610.035 4370.034 3130.033 2790.032 3210.031 4320.005 229 0.037 5580.036 6920.035 8820.035 1200.034 4060.033 7300.003 828 0.000 8970.001 2550.001 5690.001 8410.002 0850.002 2980.001 401 0.051 9410.049 5690.047 4610.045 5690.043 8610.042 3070.009 634 0.053 7400.052 0240.050 4580.049 0200.047 6930.046 4620.007 278 0.001 7990.002 4550.002 9970.003 4510.003 8320.004 1550.002 356 0.075 6700.070 8980.066 8320.063 3150.060 2340.057 5050.018 165 0.079 4870.075 9150.072 7660.069 9590.067 4340.065 1450.014 342 0.003 8170.005 0170.005 9340.006 6440.007 2000.007 6400.003 823

表3 β 和η 的2类加权综合估计结果Tab.3 Calculations of two types of estimations on β and η

根据表3 和式（11），可计算得到2 种模型下的可靠度的E-Bayes估计(t)和(t)，其结果见表4。

由表4的计算结果可以分析得出如下结论：

1）稳健性。对于相同时间取值t 时的可靠度的EBayes 估计，极差值结果都是非常小的，因而(t)和(t)都是稳健的。这说明该型装备轴承件的失效概率很低，可靠度较高，这与实际定时截尾试验得到无失效数据的情形是相呼应的。

2）单调性。当s 取值相同时，随着时间取值t 越来越大，(t)和(t)对应都越来越小，这与式（11）是相符的，并且与实际情况是相符的，因为随着试验时间延长，轴承件的失效概率会不断增加，相应的可靠度也会越来越小。

表4 R(t)的2类估计结果Tab.4 Calculations of two types of estimations on R(t)

5 结论

1）针对超参数a 和b 的先验密度函数的不同，建立了失效概率p̂i,EB和可靠度R̂EB(t)的2 种E-Bayes 估计模型，并结合实例数据对某型装备轴承件的可靠性参数进行了估计；

2）提出了针对该型装备轴承件可靠性参数估计的指标评估分析原则，即稳健性、渐近性和单调性，并结合得到的估计结果进行了指标分析，指出利用模型2对该型装备轴承件进行可靠性参数估计是更加合理有效的；

3）下一步将探讨定数截尾试验方案下的数据处理问题，以及超参数的多种不同的先验分布对可靠性参数估计的影响。