悬浮于润滑油中的颗粒运动分析及其对油膜压力的影响*

韩海燕 李娜娜 尚雪梅

(西安交通大学城市学院 陕西西安 710018)

在机器运行过程中，由于实际工况及磨损等方面的影响，使得润滑油中含有固体颗粒，而这些固体颗粒有部分会悬浮于润滑油中。因此，研究悬浮于润滑油中的固体颗粒的运动，同时分析颗粒运动及形状对于油膜压力的影响是十分必要的。进入润滑系统的固体颗粒的形状并不是理想化的球形，而颗粒受力分析采用的Stokes理论主要是针对球形或圆柱形颗粒，对于其他形状的颗粒，其受力只能通过近似来求得。颗粒所受作用力的大小与诸多因素有关，例如颗粒的尺寸及形状，这些因素的改变会导致颗粒所受作用力发生改变，利用传统的理论方法分析这类颗粒的受力问题将面临很大困难。因此，寻找一种简便、稳定、可靠的方法对不同颗粒在流体运动中的受力进行模拟计算就显得尤为重要。格子Boltzmann方法(Lattice-Boltzmann method，LBM)是近些年发展起来的一种典型的，能够用于模拟复杂流动现象的介观数值方法[1-3]，在两相流及多相流[4-6]的应用中较多，近几年也开始应用于润滑问题的分析中[7-9]。

本文作者采用格子Boltzmann方法分析颗粒在润滑油中的运动，同时引入颗粒轮廓参数，计入颗粒的轮廓形状的影响，进一步修正了文献[10]中含有固体颗粒的润滑方程。

1 考虑颗粒形状的润滑问题分析

1.1 润滑油中固体颗粒运动的LBM模拟

润滑油中固体颗粒的受力分析采用文献[11]中的方法，流固边界条件的确定采用文献[9,12]给出的方法。在LBM 模拟中，要得到悬浮于润滑油中的固体颗粒所受的作用力，首先要得到单个固体边界点所受作用力，其公式为

fi′(x,t+1)+fi′(x+ei,t+)-fi(x,t+)]ei

(1)

利用文献[13-14]的边界条件，则边界点上的作用力为

2[fi(x,t+)-fi′(x+ei,t+)-2Bi(ei·ub)]ei

(2)

边界点处所受到的力矩为

(3)

这样固体颗粒在流体中受到的总的作用力及力矩分别为

(4)

(5)

式中:n为固体颗粒边界上总的边界点的个数，总的作用力及力矩求和在所有边界点上进行。

在已知颗粒所受作用力和力矩的情况下，颗粒的运动速度可以由牛顿第二定律得到，颗粒运动方程如下：

(6)

(7)

式中：m为颗粒的质量；I为颗粒的转动惯量。

颗粒的位置更新可以在每一时步对速度进行积分得到。

1.2 计入颗粒形状的润滑方程推导

文中考虑了颗粒轮廓形状的影响，并在方程中引入了颗粒形状参数，采用的润滑模型与文献[10]相同，由一个有限宽的楔形滑块和一个无限长平板组成，平板及楔形滑块分别以u1和u2的速度运动。将润滑区域分为3个区域，将含有固体颗粒的区域II分为上下两个部分。

若固体颗粒形心处的平动速度矢量为up，固体颗粒绕形心旋转的角速度为ωp，则固体颗粒边界的速度矢量ub为

ub=up+ωp×(xb-xp)

(8)

式中：xp为颗粒形心处的位置矢量；xb为颗粒边界的位置矢量。

在文献[14]分析中发现油膜的y向速度很小，从而导致颗粒的y向受力较小，因此，文中研究时认为颗粒只绕y轴旋转。根据式(8)中固体颗粒边界处的速度矢量表达式，可以得到颗粒边界处的各个速度分量：

x向速度分量为ub=up-ωp(zb-zp)

y向速度分量为vb=vp

z向速度分量为wb=ω(xb-xp)

在颗粒边界处采用无滑移边界条件，即位于颗粒边界处的润滑油的速度与颗粒的速度相等。因此，含有固体颗粒的润滑区域II的各速度边界条件如下：

在区域II下部(Part A)：

(9)

在区域II上部(Part B):

(10)

式中:h1=hc-δp;h2=hc+δp;δp为颗粒的形状参数。

若颗粒为长方体时δp=C；

若颗粒为椭圆柱体时，

(11)

式中：a和b分别为椭圆截面的长轴和短轴，当a=b时，颗粒为圆柱体。颗粒的形状取决于颗粒形状参数δ。

利用速度边界条件(9)和(10)，对简化后的N-S方程在油膜厚度方向积分，即可得到区域II的油膜速度分量，再由得到的速度对如下的连续方程进行积分：

(12)

最终得到区域II的润滑方程为

(13)

(14)

1.3 求解过程

在求解颗粒在润滑油的运动过程时，对颗粒的运动及润滑方程同时进行，具体的求解步骤如下：

(1)给定颗粒的初始位置及初始速度，根据该初始值进行润滑方程的求解，得到油膜压力及速度；

(2)根据求得的油膜压力及速度，得到含有颗粒区域的边界条件，采用该边界条件对区域II进行求解，即可得到颗粒新的速度及位置；

(3)由新的颗粒速度和位置重新返回到步骤(1)进行计算，直到颗粒跳出润滑区域此循环结束。

图1 含有颗粒的润滑区域更新

由于润滑油在y方向的流动速度相对于x方向很小，因此y向润滑油流动对于固体颗粒运动的影响也相对较小，为了缩短计算时间简化计算，在分析颗粒运动时，采用二维分析。

2 颗粒形状对润滑油中固体颗粒运动的影响

将含有固体颗粒的流体区域划分为100×30个格子，对于圆形颗粒其直径取为9个格子，对于矩形颗粒长轴a=11，短轴b=9。在计算中对于圆形颗粒及矩形颗粒进行了分析，结果如图2、3所示。图中的坐标值都为格子Boltzmann方法模拟时的取值，颗粒中心在油膜厚度方向的初始位置取为lz=20。

图2示出了圆形颗粒在润滑油中的x向速度及z向速度的变化，可以看出，颗粒的z向速度Wp与x向速度Up相比较小；在计算中给定颗粒的初始速度为0，进入润滑油后由于黏性流体的拖曳作用，从而速度逐渐增大，达到一定时步后，由于所受作用力的影响速度逐渐趋于平稳，即颗粒在进入润滑油区域后，会在较短的瞬时与润滑油速度达到一致。

图3示出了矩形颗粒进入润滑油后速度的变化，可以看到，随着时步的变化颗粒的速度逐步趋于平稳，这主要是由颗粒的受力决定的；另外与圆形颗粒相比，矩形颗粒的速度趋于平稳需要更多的时间。

图2 圆形颗粒在lz =20处速度的变化

图3 矩形颗粒在lz=20处速度的变化

当颗粒在油膜厚度方向的初始位置lz=8时，采用相同的网格划分分别对圆形颗粒及矩形颗粒的运动进行了计算。圆形颗粒的速度变化如图4 所示，通过与图2中的结果进行比较可以发现：无论颗粒位于两壁面之间的中线(lz=15)的上侧还是下侧，颗粒都会向中线位置运动，在不考虑颗粒的重力时，这一结果与文献[15]的结论一致。

图5示出了矩形颗粒在油膜厚度方向的初始位置为lz=8时，在润滑油中速度在初始时段的变化。可以看出，矩形颗粒在z向的运动规律与圆形颗粒相似;另一方面，还可以发现，矩形颗粒趋于平稳的速度较前面的颗粒初始位置lz=20的情况更快，这是由于当矩形颗粒位于lz=8处时，由于下壁面运动，导致离下壁面较近的区域油膜速度较大，颗粒所受流体作用力增大。

分析上述研究结果可以得到，当颗粒进入润滑油后，经过很短的瞬时颗粒就会达到一个瞬态稳定的状态。从前面的速度图中可以看到，颗粒既有水平速度也有垂直速度，颗粒运动到新的位置时，其周围的流场发生变化，使得颗粒又必然会重新调整，达到新时刻的瞬态平衡。

图4 圆形颗粒在lz =8处的速度变化

图5 矩形颗粒在lz =8处的速度变化

3 颗粒形状对润滑性能的影响

3.1 颗粒运动对于润滑性能的影响

为分析椭圆形颗粒运动对于润滑的影响，以颗粒速度Up=0、Up=0.5和Up=Uf为例，探讨了油膜压力的变化情况，结果如图 6所示。由前文的分析可知，当颗粒进入润滑油之后，其旋转角速度很小，并且在计算中所用的时间步长也很小(数量级为10-8s)，导致颗粒在一定时段内旋转的角度也很微小，所以文中分析忽略了旋转角度的影响。固体颗粒在润滑区域的位置为Xp=0.2,Yp=0.5，此时在颗粒中心处的油膜速度Uf=1.136，从图6中可以看到，颗粒速度为0时对油膜压力的影响较大；随着颗粒速度逐渐增大，颗粒对油膜压力的影响逐渐减小；而当颗粒速度等于油膜速度时，颗粒对于油膜压力的影响很小。颗粒的存在必然会对润滑油的流动产生一定的阻碍作用，当颗粒速度小于流体速度并与流体流动方向一致时，根据流体力学理论，颗粒与油膜之间的相对速度越小，则颗粒对于润滑油流动产生的阻碍越小。根据上面的油膜速度值(Uf=1.136)可以发现，当颗粒速度为0时颗粒与油膜之间的相对速度最大。也可以说，图6中的几种情况下，颗粒速度为0时阻碍润滑油流动的能力最强，因此颗粒速度为0时对油膜压力的影响更大。上述研究表明，固体颗粒相对速度在颗粒运动对油膜压力的影响中占有重要地位，因此，对于颗粒在润滑油中运动速度的研究是很有必要的，这样能更真实地反映固体颗粒对油膜压力的影响。

图6 不同颗粒速度下的油膜压力

3.2 颗粒形状对于油膜压力的影响

文中在讨论颗粒形状参数对于润滑性能的影响时，主要以xoz截面形状为圆形、椭圆形、矩形及菱形为代表进行了研究。在前面的分析中将δ计为颗粒的形状参数，对于以上几种不同形状的颗粒，将x向的颗粒长度计为长轴a，z向的颗粒宽度计为短轴b，则δ的表达式分别为

图7示出了颗粒为圆形和椭圆形时的油膜压力随x的变化曲线。文中分析时将颗粒在油膜厚度方向上的长度计为颗粒的宽度，用短轴b表示，而将颗粒在流动方向上的长度计为颗粒的长度，用长轴a表示。图 7(a)中颗粒的短轴b相等，并且颗粒的位置及速度等参数都相同，可以看出，椭圆形颗粒对于油膜压力的影响更大。这是由于对于相同尺寸的颗粒短轴，椭圆形颗粒相对应的长轴a更大，这样就增大了区域II，从而使得颗粒对油膜压力的影响增大。因此，可以认为，当颗粒在油膜厚度方向上的宽度一致时，长宽比越大的颗粒对于油膜压力的影响越大。在图 7(b)中，颗粒的长轴相同，可以看出，圆形颗粒对油膜压力的影响更大，由于圆形颗粒在油膜厚度方向的长度尺寸较大，从而对油膜压力的影响较大。在实际润滑油中含有的固体颗粒不可能是规则的形状，从上面的分析可以发现：固体颗粒尺寸在油膜厚度方向的长度一致的情况下，细长形颗粒对油膜压力的影响较大。

图7 圆形颗粒及椭圆形颗粒对于油膜压力的影响

4 结论

(1)基于格子Boltzmann方法分析了颗粒在润滑油中的受力及运动，研究发现，在不考虑颗粒重力作用时，无论颗粒在油膜厚度方向的初始位置位于两壁面之间的中线上侧还是下侧，颗粒都会向中线位置移动。

(2)计入颗粒轮廓形状的影响，修正了考虑颗粒运动的雷诺方程，分析了不同形状颗粒对油膜压力的影响，并得到如下结论：当颗粒的宽度在油膜厚度方向相同时，长宽比越大的颗粒对油膜压力的影响也越大；当颗粒长轴相等时，颗粒在油膜厚度方向的宽度越大，则其对油膜压力的影响也越大；而当颗粒的长度和宽度一定时，颗粒形状对润滑油流动的阻碍能力越强则颗粒对于油膜压力的影响也越大。