初中动点问题的图示策略建构

广东省深圳市龙岗区天成学校(518172) 王全波

从各省市近几年中考试卷来看,动点压轴题目经常在最后两题中出现,它与函数、方程、图形变化、几何证明等结合,经过观察、猜想、操作、探究、推理等过程,考察学生的数型结合、分类讨论、化归思想、逻辑推理等综合能力.

1 初中解析几何的再认识

初中的解析几何是指平面解析几何,通过平面直角坐标系,建立点与实数对之间的一一对应关系,以及曲线与方程之间的一一对应关系,运用代数方法研究几何问题,或用几何方法研究代数问题.解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合,使形与数统一起来,这是数学发展史上的一次重大突破.解析几何中几何才是问题的实质,几何中图形才是认识问题的关键,代数的功能只是解析问题一种工具.

2 图示动点问题

初中动点问题的题目是属于解析几何的范畴,解析几何问题必然离不开图形.在这里本文选取了一个题目作为典型题例,围绕这个题目展开对动点问题的教学策略进行建构.

典型题例如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,−2)三点.

(1)求出抛物线的解析式;

(2)P是抛物线上一动点,过P作PM ⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与∆OAC相似? 若存在,请求出符合条件的点P的坐标; 若不存在, 请说明理由;

在日常教学中,我们可能习惯于一种逻辑,面对一道解析几何的题目,这个题目需要用图形来分析,所以我们去寻找某种图形,再完成这个题目的解析,最终完成这个题目.这样一种逻辑下,其实不自觉就把完成题目的重点放到解析上,但没有认识、理解图形就要学生去完成书写,这样就会出现学生知识建构不能完成,即使能完成也可能不能长久,就如空中楼阁.所以动点问题的教学重点应该放到图形认识上,本文把图形的建构环节分成了三个层次,下面就以典型题例来对进行说明.

2.1 画基本图形

众所周知,数学中许多基本图形,如线段、数轴、三角形、正方形、抛物线、圆、双曲线等,这些基本图形都蕴含着许多重要的基本性质,不仅如此,这些基本图形所呈现的数学语言有简洁、抽象及明确的特点,有其他语言所不可代替的优越性.它比文字更加形象,也有思想交流的功能,其丰富的的表象,往往有助于我们清楚的分析题目中的数量关系,起到化繁为简、化难为易的良好效果.

在本文典型题例中,问(2)中所涉及的是三角形相似的问题, 问(3)所涉及的是三角形面积的最值问题, 这其中的图形都是初中数学中十分常见的图形,对这些基本图形的绘制和性质的掌握是教学中务必首要完成的任务.比如典型题例中两个三角形如果相似,由于对应点的不同就会出现三种不同的可能,学生能不能用基本图形进行理解性说明;同理,有关三角形面积求法的问题, 学生又能不能很轻松的解决,这都是进行这类课教学关键步骤.当然这类问题在初中数学中还比较多,等腰三角的问题、直角三角形的问题、平行四边形、菱形等等,当这些问题背后都隐藏了一个简单的图形链条,抓住链条,你就能控制理解的方向.

2.2 “画”动为静

“动点问题”是现在比较热的一个题型,也是中考中许多学生头痛的一个问题.它除了考查学生的知识功底外,还要求学生要有很敏捷的思维,较高的逻辑推理和分析能力,但无论这种题目怎么变化, 它始终都是解析几何的一种情况,其离不开其实质就是图形.学生在刚开始接触动态题时,感觉无从下手,在教学中我们要让学生敢于动笔,“画”动为静,只有敢画,才能触及到分析解决问题的实质,才能把抽象的“动”变为具体的“静”,迅速调动学生的形象思维,为更深入的理解分析问题.同时,我们所画出的静态图,实际又是一个变化的图形,这样动态图和静态图之间自然就建立了密不可分的联系.

在典型题的问(2)中,将动点P确定下来,让它在图上表现为一个静态的点,只要有这大胆的一步,问题就会逐渐变得清晰,因为图形在接近基本图形.在问(2)中,由于P点是动点,我们需要“画”动为静,但由于P点在一条曲线上移动,就需要确定几个具有代表性的静态点,所以要进行分类选择,就可以得到如下的情况:

图1

图2

图3

而上述三种情况,P点是否存在,就取决于最后演算结果是否符合实际情况.三种情况都可以通过把动点转换为静态点进行图形的直观感知,这种方式一是要做好明确的分类,二是可以理解问题的结合实质,是解答问题中最为重要的建构过程.在教学过程中这个部分需要花大量时间来进行思维训练和画图训练,这样才有可能对问题进行更深入的理解.

2.3 理解性图示

有了“画”动为静这个层次的理解,教学中学生对题目的理解会变得简单明确,教学中需要反复强化“画”动为静的训练,要争取达到自动化的程度.但事实上,在题目原图中“画”动为静有时会让图形变得很复杂,虽然在思维层面这样图示可以把问题表现得清清楚楚, 但图形直观性就受到了影响.其实我们还可以把图形理解更提升一个层次,把它变为理解性的图示,去掉图形中无关的线条,靠近基本图形,能够进行正常理解即可.典型题例(2)问中的图示,就还可以更为画成更为简单,几乎成为基本图形,不过要加上一些理解性的标注.

在“画”动为静这个层次的理解后,我们可以重新来审视典型题例中的问(2),其实三种情况的本质就是三角形相似的问题,我们可以大胆的进行抽象为:

图4

图5

图6

在此基础上,我们还可进一步进行抽象理解,实际上问(2)就是两个三角形相似的问题,可以根据对应点的不同来进行分类.由于∠AOC=∠APM=90°,所以O点与M点始终是对应点,实际这两个三角形相似就还剩两种情况分别是:∆AOC∽∆PMA和∆AOC∽∆AMP,这样我们可以直接默认P点是一个动点,不再考虑图形变化对P点带来的影响,在同相似转化为对应线段的比进行演算,得出符合题意的点.这样的图示实际上是一种高度抽象,但又是很易理解的基本图示.强化动点问题的图示策略的三个层次,就可以帮助学生更高质量地建构动点问题解题体系.

3 策略建构综述

在初中动点问题的教学中,蕴含了许多不同的图形,不同的图形虽有不同的性质,也可以呈现不同的数学语言,但教学中需要抓住图示建构这一核心,借助数学基本图形的形象性、直观性,不断强化学生数学思维能力.随后,再以代数的方法解析问题,将几何问题代数化,辅助适宜的简化运算解决问题.在实际教学中,这种策略的建构也强化了解决问题的核心,进而提升课堂教学质量.策略也从侧面揭示了数形结合的实质,形是根本,数是方法.