关注图形平移过程掌握图形变化规律
——微课教学的实践探索

天津市耀华中学(300040) 明廷军

图形的变化是初中平面几何中非常重要的内容,它不仅有助于发展学生的识图能力,培养学生的几何直观感觉,也有助于学生分类讨论思想的形成. 因此,在全国各地的数学中考试题中,与“图形的变化”相关的问题几乎都以压轴题的形式出现. 因此如何在动态的过程中进行观察、想象与分析,进而去化解“图形的变化”中所遇到的问题,在我们的平面几何学习中显得尤为重要. 本文尝试着利用微课教学从实例剖析的角度去引导学生对“图形变化”中的平移问题进行探讨,进而培养学生的图形想象能力与逻辑推理能力.

1 在平移过程中认识图形的变化

图形在平移的过程中往往呈现变化多样性的特点,对变化多样性的理解程度直接影响着我们对问题的判断,所以认识图形在平移过程中所经历的每一个状态是解决问题的关键. 在微课教学中利用多媒体可以高效直观地解决这个问题.

例1在平面直角坐标系中,O为原点, 点A(6,0), 点B在y轴的正半轴上,∠ABO=30°. 矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2.

图1

(Ⅰ)如图1,求点E的坐标;

(Ⅱ) 将矩形CODE沿x轴向右平移,得到矩形C′O′D′E′, 点C,O,D,E的对应点分别为C′,O′,D′,E′. 设OO′=t, 矩形C′O′D′E′与∆ABO重叠部分的面积为S.

图2

(Ⅰ)如图2,当矩形C′O′D′E′与∆ABO重叠部分为五边形时,C′E′,E′D′分别与AB相交于点M,F, 试用含有t的式子表示S, 并直接写出t的取值范围;

评注:这道题是天津市2019年中考试卷的第24 题,在这道题中,如果能认识到矩形CODE沿x轴向右平移的过程中,重叠部分的形状会经历五边形、四边形和三角形这样三种状态,而且重叠部分的面积会越来越小,那么这道题就能被我们轻松地解决.

2 在平移过程中关注图形的不变性

在图形的平移过程中,只改变图形的位置,不改变图形的大小和形状. 图形平移的这一特点为我们认识复杂图形提供了很大帮助,大大提升了我们解决问题的能力. 在微课教学中多媒体动画的使用可以帮助我们强化这一认知.

例2在平面直角坐标系中,点A(4,0),B为第一象限内一点,且OB⊥AB,OB=2.

(Ⅰ)如图5,求点B的坐标;

(Ⅱ)如图6,将∆OAB沿x轴向右平移得到∆O′A′B′,设OO′=m,其中0< m <4,连接BO′,AB与O′B′交于点C.

(Ⅰ)试用含m的式子表示∆BCO′的面积S,并求出S的最大值;

(ⅱ)当∆BCO′为等腰三角形时,求点C的坐标(直接写出结果即可).

图5

图6

评注:在这道题中, 如果能注意到在∆OAB的平移过程中,始终有∠A′O′B′= ∠AOB,且O′B′//OB,进而发现∠ACO′=90°,那么我们就能很容易地找到解题的突破口.

3 在平移过程中探究最值问题

在图形的平移过程中, 有些隐含的元素是始终相等的,如果能从中发现图形的这些隐含元素, 并合理地加以运用,进而将复杂陌生的问题化作简单熟悉的问题,那么我们的数学能力一定会在图形的不断变化中得到培养,我们的思路也会变得更加开阔. 依托于多媒体的微课教学为这种图形变化提供了可能.

例3在平面直角坐标系中,点A(4,0),B为第一象限内一点,且∆OAB为等边三角形,C为OB的中点,连接AC.

(Ⅰ)如图9,求点C的坐标;

(Ⅱ) 如图10, 将∆OAC沿x轴向右平移得到∆DFE,设OD=m,其中0

(Ⅰ)设∆OAB与∆DEF重叠部分的面积为S,用含m的式子表示S;

(ⅱ)连接BD,BE,当BD+BE取最小值时,求点E的坐标(直接写出结果即可).

图9

图10

图11

评注:在这道题中, 由于点D和点E都是动点, 所以BD+BE的最值不好分析,如果我们能发现EG其实就是DB沿着DE平移而来,因而它们的长度相等,再结合对称的性质,我们就能把BD+BE转化成EH+BE,即一个动点到两个定点的距离之和,这样“两点之间,线段最短”就可以使用了.

在平面几何的学习过程中,对于“图形的变化”所涉及到的平移问题,我们如果能准确地认识平移过程中所经历的每一个状态,充分把握图形平移过程中的不变性,努力挖掘图形平移过程中所隐含的相等元素,那么很多问题往往都能迎刃而解. 微课教学恰恰为我们提供了所需的方法和途径.

我们也可以看到,正是因为有了图形的变化,才有了几何的魅力. 也因此扩展了学生的探究思维,提高了学生的判断力,养成了学生的图形识别能力,为后续的几何学习打下坚实的基础.