移动车辆作用下周期性高架桥的动力响应

范胜帅，马 丽，陆建飞，冯青松

(1. 江苏大学土木工程与力学学院，江苏镇江212013； 2. 东南大学成贤学院机械与电气工程学院，江苏南京210088；3. 华东交通大学土木建筑学院，江西南昌330013)

自19世纪20年代第一条铁路建成以来，学术界对列车引起的桥梁振动问题进行了研究。在随后的100多年，在列车引起的桥梁振动的研究中通常忽略车辆和桥梁的耦合作用，而将车辆简化为移动荷载，桥梁则简化为简支梁或连续梁，然后通过解析或数值方法得到移动荷载作用下桥梁的动力解。上述方法在车辆质量相对桥梁结构很小且车速较低情况下有其合理性，但当车辆的质量和桥梁质量相比不可忽略时，会带来较大误差。20世纪60年代前后，以日本为代表的发达国家开始兴建高速铁路，这使列车与桥梁之间的耦合振动问题日益得到重视，也促使学术界建立了一些车桥耦合振动的模型。根据所采用的车辆模型，这些模型包括移动质量模型、移动弹簧-质量模型、刚性移动车辆模型、可变形移动车辆模型。Akin等[1]建立了移动质量作用下简支梁的动力响应分析模型。Chu等[2]所建立的多刚体车辆模型得到了的广泛采纳。曾京等[3]、曹辉等[4]鉴于车辆的轻量化设计趋势，对弹性车体的动力特性进行了研究。根据桥梁建模方法，车桥耦合模型可分为有限元模型[5]和模态坐标模型[6]，而有限元模型又分为杆系有限元模型和空间有限元模型[7]。根据车桥耦合振动的求解方法，车桥耦合模型又可分为解析模型[8]、半解析模型[9]、数值模型[10]。

近10年来，随着高速铁路的进一步发展，高架铁路已成为高速铁路的一种重要形式，因此，高架铁路桥梁也逐渐成为学术界关注的对象。由于正常路段高架铁路的各跨通常具有相同的跨度，因此正常路段的高架铁路常可简化为周期性结构。由于周期性高架铁路的周期性和无限性，因此，上述针对简支梁和连续梁桥的车桥耦合求解方法很难适用。目前，根据周期性高架铁路的特点，学术界也对相关的振动及车桥耦合振动问题进行了研究。例如，Lu等[11]利用傅里叶变换和传递矩阵法，建立了周期性高架桥(periodic viaduct，PV)受移动荷载作用的计算模型；随后又考虑到荷载的惯性效应，研究了移动质量[12]条件下PV的动力响应问题。

值得指出的是，把车辆简化成移动质量虽然可考察PV的振动和车辆的惯性效应；但是无法考察移动过程中车辆的振动，因此，必须建立更精细的车辆模型，以对移动车辆与PV的耦合振动问题进行研究。鉴于此，本文中建立移动车辆模型，并结合已有的PV模型，研究移动车辆和周期性高架铁路的耦合振动问题。基于所建立的模型，重点分析车辆移动过程中的车桥作用力、车辆的动力响应以及PV的动力响应等。

1 PV对移动车辆动力响应的一般表达式

图1所示为移动车辆作用下PV简化计算模型，其中PV上有以恒定速度v行驶的车辆。为了简便，本文中使用文献[12]中建立的简化高架桥模型来模拟周期性高架铁路，其中PV由无限相同的跨组成，高架桥的每跨由1个桥墩(假设墩底与土体刚性联结)、2根混凝土梁(左、右)和3个连接弹簧组成，3个构件的连接处称为梁-梁-墩(beam-beam-pier，BBP)接头，总体坐标系的坐标原点在第0跨BBP接头中心。本文中的车辆简化为1个刚体和2个支撑刚体的弹簧质量系统(spring mass system，SMS)，其中刚体代表车体，2个SMS代表与刚性车体相连的转向架和车轮，每个SMS由下弹簧、上弹簧、阻尼器(spring damping system，SDS)直接与高架桥接触的质量组成(见图1)。为了简便，本文中忽略每个SMS中弹簧和阻尼器的质量。

L—PV的跨度； v—移动车辆的运行速度； d—车辆前、后弹簧质量系统(SMS)的距离； dq、dh—前、后SMS与车体质心间的距离； ηq—前SMS的下部弹簧刚度、上部弹簧刚度、阻尼系数； ηh—后SMS的下部弹簧刚度、上部弹簧刚度、阻尼系数； xoz—总体坐标系。图1 移动车辆作用下周期性高架桥(PV)简化计算模型

研究移动车辆与PV之间的耦合振动问题涉及到对时间和空间坐标的傅里叶变换。时间的傅里叶变换定义[13]为

(1)

(2)

假设车辆前、后SMS之间的距离为d。前、后SMS的位置为

(3)

假设前、后SMS与PV之间的相互作用力为fcq(t)、fch(t)，简称车桥作用力。根据车桥作用力，前、后SMS作用于PV的移动荷载可表示为

(4)

式中δ为狄拉克函数。惯性效应使得SMS与PV间的作用力fcq(t)、fch(t)均未知。由于高架铁路沿走向呈周期性，因此，车桥作用力fcq(t)、fch(t)也呈类似的周期性。车桥作用力fcq(t)、fch(t)的傅里叶展开式为

(5)

(6)

式中Fj(ζ,t)为车桥作用力的第j个移动荷载分量。Fj(ζ,t)可进一步分解为

(7)

如果已知PV对第j个单位移动荷载分量的响应，则PV对车桥作用力的总时域和频域响应为

(8)

(9)

(10)

kj=(ω-Ωj)/v,α=q, h。

(11)

式(11)表明，PV对第j个单位移动荷载分量的频域响应为

(12)

2 移动车辆的动力方程

为了确定车桥作用力，需要根据车桥耦合条件对移动车辆进行动力学分析。车体的垂直和转动振动的运动方程为

(13)

(14)

类似地，根据牛顿第二定律，可得前、后SMS下部质量的运动方程为

(15)

由于车体与SMS系统顶部联结，因此SMS的顶部垂直位移为

(16)

(17)

(18)

根据方程(16)，有等式

(19)

(20)

(21)

根据式(8)，PV梁在移动车辆作用下的垂直方向的位移为

(22)

(23)

(24)

(25)

式中 δ0k为克罗内克符号。类似地，根据前、后SMS下部质量的运动方程，可得

(26)

获得PV对第j个单位移动荷载分量的响应后，即可根据式(25)、(26)来确定车桥作用力和弹簧恢复力的傅里叶系数。将所得的傅里叶系数代入式(8)，可得PV对车辆的动力响应。

3 车桥作用力的数值计算方法

本文中采用黏弹性理论中的Cole-Cole模型[14]描述PV梁和墩材料振动的衰减，根据Cole-Cole模型，梁和墩的复杨氏模量为

(27)

为了在数值上求解2节中所述的耦合方程，需要适当地截断方程(5)、(16)、(24)中的傅里叶级数。由于在实际工程中，车桥作用力和弹簧恢复力具有特定带宽，因此级数应根据带宽进行截断。假设方程中的傅里叶级数截断项数为Nf，则

(28)

Nf=2Nh+1为截断项数，关于0对称。类似地，对2节中所得的运动方程(25)、(26)进行Nf项级数截断，可得方程

(29)

(30)

4 模型验证与算例分析

4.1 模型验证

为了验证所提出模型的正确性，将车辆模型退化至单个移动质量，与文献[12]中的结果进行对比，同时对比本模型中车桥作用力和文献[12]中的结果，如图2所示。由图可知，PV的剪力响应吻合较好； 车桥作用力的吻合度很高，验证了本模型的正确性。

(a)梁截面剪力,Mv=Mb/20(b)车桥作用力,Mv=Mb/5Mv—车体质量; Mb—同期性高架桥梁质量。图2 车速为50 m/s时模型验证对比

4.2 动力响应分析

分析质量对车桥作用力和车辆位移响应的影响，以及车辆的移动速度对PV动力响应的影响。表1所示为梁、墩及SMS等材料的几何参数。本节中涉及的算例中，车辆模型的前、后SMS的距离取为6 m。车体质量在观察跨梁质量的1/20、1/10、1/5中选取，前、后SMS质量均取为车体质量的1/6。取PV的第40跨作为观察跨，跨度为24 m。由于车桥耦合振动集中在低频范围，频率的范围设定为0～60 Hz。为了避免时域响应的混叠，傅里叶逆变换中频域内采样点个数取为20 001。当傅里叶级数的截断项数大于39时，车桥作用力趋于收敛，因此本节中所有算例中的截断项数均取为41。

表1 各构件参数及梁-梁-墩(BBP)接头处弹簧刚度

当车速取为150 m/s，质量分别为观察跨梁质量的1/20、1/5时，车桥作用力的计算结果如图3所示。由图可知，前、后车桥作用力均不关于BBP接头对称，并且当速度相同时，车体质量越大，则车桥作用力与质量的比值越大； 当质量取为梁质量的1/5时，车桥作用力出现了负值。

(a)Mv=Mb/20(b)Mv=Mb/5Mv—车体质量; Mb—周期性高架桥梁质量; SMS—弹簧质量系统。图3 车速为150 m/s时前、 后车桥作用力分析

当车速分别取为50、150 m/s，质量为观察跨梁质量的1/20、1/5时，车体的竖向振动位移响应如图4所示。由图可知，随着速度的增大，不同车体质量对应的观察跨的位移响应峰值均减小，并且质量越大，则峰值越小，但是随着车体质量的增大，位移响应的峰值均增大。

(a)车速为50 m/s(b)车速为150 m/sMv—车体质量; Mb—PV梁质量。图4 周期性高架桥(PV)观察跨车辆位移响应分析

当车速分别取50、150 m/s，车体质量为观察跨梁质量的1/20时，PV的位移响应如图5所示。由图可知，低频段的峰值均远大于相应的高频段的峰值，且速度越大，主共振峰所在通带的频率越低，并且响应越大，车速为150 m/s时的主共振峰频率比车速为50 m/s时的主共振峰频率低5 Hz。

(a)车速为50 m/s(b)车速为150 m/sMv—车体质量; Mb—PV梁质量。图5 Mv=Mb/20时周期性高架桥(PV)跨中截面位移响应分析

表2所示为计算车辆自振频率相关的参数。根据表2可确定车辆自身的2个自振频率分别为7.225、8.106 Hz，倒数为自振周期。称车桥作用力的周期与车辆自振周期相等时的车辆速度为车辆的共振速度，对应车辆自振周期，车辆的共振速度分别为122.580、137.564 m/s。

表2 计算车辆自振频率相关的参数

为了考察共振速度对PV动力响应的影响，分别计算PV对上述2个共振速度和相应的2个非共振速度的移动车辆对应的动力响应，结果如图6所示。由图可知，在低频段，共振速度时的剪力响应均明显大于非共振速度时的，尤其是在频率为9 Hz附近出现了主共振峰，即车、桥共振时动力响应最显著。

(a)第1个共振与非共振速度(b)第2个共振与非共振速度Mv—车体质量; Mb—PV梁质量; v—车速;Mw—弹簧质量系统质量; g—重力加速度;Qb—剪力。图6 Mv=Mb/10时共振速度与非共振速度下周期性高架桥(PV)剪力响应分析

5 结论

本文中建立了移动车辆作用下PV动力响应求解的模型，并探讨了PV的动力响应特征及其影响因素，得到以下主要结论：

1)对于高速运行的大质量列车，车桥作用力会出现负值，使得列车行驶过程中的不安全性增加，因此，在高速铁路和列车的设计计算中需要考虑质量与速度的关系。

2)车辆的自振频率对PV的动力响应有直接影响。当车桥发生共振时，PV的剪力响应显著放大。

3)随着车辆移动速度的增大，PV的动力响应整体上呈增加趋势。PV位移响应在低频段的峰值远大于相应的高频段的峰值，车辆的移动速度越大，低频响应越显著。