破解带电粒子在电磁场中运动问题的方法

浙江 成金德

带电粒子在磁场或者电磁场(复合场)中运动的问题是高中物理中最为典型的一类综合问题，它具有综合性强、能力要求高、难度较大的特点，不少学生解答这类问题时，不是望而生畏就是无功而返。这类问题在高考中往往作为压轴题出现，对高考选拔人才有一定的影响。经过多年的教学实践，笔者认为破解这类问题，关键要在以下五个方面予以努力。

一、破解多解问题——重视条件分析

因为设置的条件具有不确定性，或者带电粒子在磁场中运动存在多样性等因素，造成多解问题。有效解答此类问题的关键在于认真审题，弄清形成多解的原因，从形成多解的不确定条件出发，讨论形成多解的各种可能结果，以便准确得出符合题意的相应答案。

【例1】如图1所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小均为B。现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向水平向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力。求：

图1

(1)微粒在磁场中运动的周期；

(2)从P点到Q点，微粒运动的速度大小及时间。

【解析】(1)不计微粒的重力，微粒在磁场中仅受洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设圆周运动的半径为r

(2)微粒从P点运动到Q点，由于条件的不确定性(v、R、B、q、m等大小都未知)，造成微粒在磁场中运动的情境有多种，如图2所示的4种情景是微粒可能运动情境中的4种。

设微粒的运动轨迹将磁场的边界分隔成n等分，即n可取n=2，3，4，…。设每等份圆弧所对应圆心角为2θ，由几何关系可知可能出现的运动情形为：

甲 n=2情形

乙 n=3情形

丙 n=4情形

丁 n=5情形

由对称性可知，轨迹中的一段大圆弧所对应的圆心角为2π-2θ，一段小圆弧所对应的圆心角为2θ，即微粒经过一段大圆弧和一段小圆弧的时间为一个周期。

二、破解轨迹问题——寻找衔接关系

求解带电粒子在磁场中运动的问题时，准确作出带电粒子的运动轨迹无疑是解决问题的关键。要准确地作出轨迹图，不仅要仔细分析带电粒子的运动情况，而且要充分利用相关的几何条件，确定各段不同轨迹间的衔接关系，以便为准确作出轨迹提供有效保障。

图3

(1)两平行金属极板间电场强度的大小；

(2)若带电粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；

带电粒子运动的圆轨迹与小圆相切存在两种情况：

图4

图5

作出带电粒子两次与大圆相切时，时间间隔的运动轨迹如图6所示，由对称性可知，Ⅰ区两段圆弧所对应的圆心角相同，设为θ1。Ⅱ区内圆弧所对应的圆心角设为θ2，在Ⅰ区两段圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角设为α，根据几何关系可得θ1=120°，θ2=180°，α=60°

图6

因此，带电粒子在Ⅱ区内做半个小圆弧运动后与在Ⅰ区内的大圆弧衔接，而后带电粒子重复上述交替运动回到H点时，在Ⅱ区内经过6段半圆形运动，这样，就可作出带电粒子的运动轨迹，如图7所示。

图7

则带电粒子运动的路程为s=v(t1+t2)

解以上各式得s=5.5πd

【破解关键】本题中作带电粒子的运动轨迹是一个难点，要准确作图有两个关键点：其一，从Ⅰ区大圆弧到Ⅱ区小圆弧衔接的几何关系；其二，带电粒子再从Ⅱ区小圆弧到Ⅰ区大圆弧衔接的几何关系。确定两个特定区域的几何关系时，必须能熟练应用相关的几何知识，以及有关轨迹对称性和周期性的特征。本题中，确定磁场边界圆和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角α是解题的核心，这里既要依据带电粒子的运动情况，又要结合相关的几何条件，这样问题才会迎刃而解。不少同学在解决此类问题时，往往草率分析，潦草作图，因而找不到解题的钥匙。

三、破解过程问题——弄清细节特点

带电粒子在磁场中运动的形式多种多样，有时会涉及一些多过程问题，求解此类问题时，必须弄清带电粒子在各个过程的受力情况和运动情况等细节，并注意各个过程间的联系，最好能画出带电粒子的运动轨迹，再结合相关的物理规律和数学知识求解。

【例3】如图8所示，在纸面内有磁感应强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，虚线等边三角形ABC为两磁场的理想边界。已知三角形ABC边长为L，虚线三角形内为方向垂直纸面向外的匀强磁场，三角形外部的足够大空间为方向垂直纸面向里的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从AB边中点P垂直AB边射入三角形外部磁场，不计粒子的重力和一切阻力，试求：

图8

(1)要使粒子从P点射出后在最短时间内通过B点，则从P点射出时的速度v0为多大？

(2)满足(1)问的粒子通过B后第三次通过磁场边界时到B的距离是多少？

(3)满足(1)问的粒子从P点射入外部磁场到再次返回到P点的最短时间为多少？

【解析】(1)当粒子做半个圆周运动直接到达B点所用时间最短。

图9

(3)粒子从P点射入外部磁场到再次返回到P点的过程中，粒子一共经过13个小过程，即：

①由轨迹1转向轨迹2，由几何关系可知，轨迹1中粒子偏转180°，轨迹2中粒子偏转60°后进入内部磁场。

②由轨迹2转向轨迹3(由3-4，由4-5等)具有对称性，各个轨迹对应偏转角都为60°。

③由轨迹5转向轨迹6，由几何关系可知，轨迹5中粒子偏转60°，轨迹6中粒子偏转300°后进入内部磁场。

④由轨迹6转向轨迹7，由几何关系可知，轨迹7中粒子偏转60°后进入外部磁场。

⑤由轨迹7转向轨迹8，由几何关系可知，轨迹8中粒子偏转300°后进入内部磁场。

⑥由轨迹8转向轨迹9，由几何关系可知，轨迹9中粒子偏转60°后进入外部磁场。

⑦由轨迹9转向轨迹10(由10-11，由11-12等)具有对称性，各个轨迹对应偏转角都为60°。

⑧由轨迹12转向轨迹13，由几何关系可知，轨迹13中粒子偏转180°后回到P点。

由此可作出粒子的运动轨迹如图10所示。从图中可知粒子运动的时间为

图10

【破解关键】求解本题的第(3)问时，关键在于弄清粒子运动过程的细节，即粒子经历13个小过程中粒子的偏转角和转向，其中有八个细节非常重要，如果出现一点差错，就不可能求得正确结果。

四、破解范围问题——熟用临界条件

关于带电粒子落在某个区间，或者加速电压(或磁场的磁感应强度)在什么范围内能使带电粒子运动到某个区域等问题属于范围问题，求解这类问题关键在于熟练应用相关的临界条件，再结合相关的物理规律和数学知识。

【例4】如图11所示，矩形abcd区域内有磁感应强度为B的匀强磁场，ab边长为3L，bc边足够长。厚度不计的挡板MN长为5L，平行bc边放置在磁场中，与bc边相距L，左端与ab边也相距L。质量为m、电荷量为e的电子，由静止开始经电场加速后沿ab边进入磁场区域。电子与挡板碰撞后完全被吸收并导走。

图11

(1)如果加速电压控制在一定范围内，能保证在这个电压范围内加速的电子进入磁场后在磁场中运动时间都相同。求这个加速电压U的范围。

(2)调节加速电压，使电子能落在挡板上表面，求电子落在挡板上表面的最大宽度ΔL。

当电子的轨道半径逐渐增大，与挡板下表面相切时，其圆周运动的半径r1=2L，圆心为O1，如图12所示，要使电子在磁场中的运动时间相等，必须满足r≤r1<2L

图12

当电子恰好绕过挡板从ad边离开磁场，设其做圆周运动的半径为r2，如图13所示。

图13

(2)电子能打到挡板上表面必须满足以下临界条件：

图14

解得r3=2.5L

(ⅱ)电子打在P点后，随着轨道半径逐渐增大，要使电子打在挡板的上表面，则不能从bc边射出，设电子轨迹与bc边相切时的半径为r4，圆心为O4，电子打在上板的Q点，如图15所示。则有r4=3L

图15

所以，电子落在挡板上表面的最大宽度ΔL

【破解关键】求解本题的关键在于把握四个临界条件：①电子恰好过M点；②电子恰好过N点；③电子运动轨迹与磁场上边界bc相切；④电子运动轨迹与挡板下表面相切。只有熟练利用这四个临界条件，再结合相关的几何关系，就可以作出正确的分析和求得正确的结果。

五、破解临界问题——抓住边界条件

求解带电粒子在电磁场中运动的临界问题，既要作出问题存在的可能情况的一般分析，又要结合边界条件作出临界分析，从而找到解决问题的方法。

图16

(1)若正离子的比荷为k，求该离子到达CD极时的速度大小；

(2)该装置可以测出离子从AB极出发，经过Ⅰ区、Ⅱ区和Ⅲ区，最后返回EF端的总时间为t，由此可以确定离子的比荷为k，试写出k与t的函数关系式；

图17

(2)正离子在Ⅰ区受到电场力的作用，正离子做匀加速直线运动，设所用时间为t1，由平均速度定义式得

正离子运动的总时间为t=t1+t2+t3

(3)设质量分別为M和m的正离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1和R2，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可知

作出两种离子在磁场中运动的轨迹，如图18所示。要符合题目提出的使两种离子在收集板上完全分离、收集更多离子和狭缝尽可能大的条件，通过作图可知，选取R1=2R2及如图19所示的边界条件(即质量为M的正离子在收集板上的最低点与质量为m的正离子在收集板上的最高点重合)能符合题目要求。

图18

图19

此时狭缝的最大值x应满足x=2R1-2R2，d=2R1+x

【破解关键】本题中的第(3)问，要求将两种离子在收集板上完全分离，同时要收集到更多的离子，则狭缝的宽度应尽可能大。求解时，必须对离子在磁场中的运动进行一般分析，如图18所示，通过作图和分析可以看到两个离子在磁场中做匀速圆周运动的半径差别越大，收集到的离子数就越大；结合离子打在收集板上的分界位置(如图19中的c点)，再注意三个边界条件(如图19中的a、b和d点)，这样就可以得到满足题目要求的条件为x=2R1-2R2和d=2R1+x，因此，即可顺利解决问题。