碰撞模型中几个重要的规律及应用

安徽 邵 永 王法远

物理中的综合性试题往往包含单个或多个研究对象，各对象参与单个或多个过程且各对象、各过程间相互作用、相互牵连、相互影响，在这些过程中经常夹杂着碰撞现象，碰撞过程往往起到承前启后的作用，虽然碰撞过程极为短暂，但是碰撞前后运动状态却发生显著变化，所以对碰撞过程的分析不容忽视。对于实际的碰撞问题舍弃次要因素，抓住主要因素，建立碰撞模型，总结物理规律，不仅可以加深对动量知识的深刻理解，还可以提高学生对动量问题以及包含动量的综合性问题的分析解决能力，做到基础与能力并重、基础与素养兼容。

一、“两体一维”弹性正碰的碰后速度

【例1】如图1所示，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量均为M，三者均处于静止状态。现使A以某一速度向右运动，设物体间的碰撞都是弹性的。求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞。

图1

二、“两体一维”弹性正碰碰后速度的取值范围

【例2】如图2所示，ABD为竖直平面内的轨道，其中AB段水平粗糙、BD段为半径R=0.4 m的半圆光滑轨道，两段轨道平滑相切于B点，小球甲由C点以速度v0沿水平轨道向右运动，与静止在B点的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为m，小球甲与AB段的动摩擦因数μ=0.5，C、B距离L=1.6 m，重力加速度g取10 m/s2。(水平轨道足够长，甲、乙两球均可视为质点)

图2

(1)甲、乙两球碰撞后，乙球恰能通过轨道的最高点D，求乙球在轨道上的首次落点到B点的距离；

(2)在满足(1)的条件下，求甲球的速度v0；

(3)若甲球仍以速度v0向右运动，增大甲球的质量，保持乙球的质量不变，求乙球在轨道上的首次落点到B点的距离范围。

【点拨】本题碰撞过程夹在中间起到连接前后运动的桥梁作用，虽然本题还考查了功能问题、平抛运动问题，但动量问题对整道试题特别是第(3)问的求解起到至关重要的作用，既是本题的重点，也是本题的难点。在上述的解析中联立⑩可得如果M≫m，可得vm→2vB、vM→vB；如果M≪m，可得vm→0、vM→-vB。综合上述可得，当两物体质量任意时，两个物体的碰后速度都会改变，但是在某一个确定的范围内，其中主碰物体速度介于-vB～vB之间，被碰物体的速度介于0～2vB之间。由于题中主碰物体的质量大于被碰物体质量，所以vB

三、质量相等的“两体一维”弹性正碰，碰前、碰后速度间的关系

【例3】如图3所示，光滑水平面上有一被压缩的轻质弹簧，左端固定，质量为mA=1 kg的滑块A紧靠弹簧右端(不拴接)，弹簧的弹性势能为Ep=32 J。质量为mB=1 kg的槽B静止放在水平面上，内壁间距为L=0.6 m，槽内放有质量为mC=2 kg的滑块C(可视为质点)，滑块C到左侧壁的距离为d=0.1 m，槽与滑块C之间的动摩擦因数μ=0.1。现释放弹簧，滑块A离开弹簧后与槽B发生正碰并粘连在一起。已知槽与滑块C发生的碰撞为弹性碰撞。求：

图3

(1)滑块A与槽碰撞前、后瞬间的速度大小；

(2)槽与滑块C最终的速度大小及滑块C与槽的左侧壁碰撞的次数；

(3)从槽开始运动到槽和滑块C相对静止时各自的位移大小。

图4

【点拨】本题的第(3)问中虽然两次碰撞之间两者的相对位移大小总等于槽的长度，但是由于两者速度逐渐接近，所以连续两次碰撞之间的运动时间越来越长，相邻两次碰撞之后的运动位移逐渐变化，所以，整个过程中两物体的位移不好求解，上述解法之所以非常顺利，是因为这是一类特殊的碰撞，有着特殊的结论，由于A、B的质量和等于C的质量。代入碰后的速度公式很容易发现碰撞前后两者交换速度，同样是由于A、B的质量和等于C的质量，所以，碰后两物体运动的加速度大小相等，所以，碰后两物体分别延续着对方的碰前的匀变速运动，所以，整个过程可等效看成一个匀减速运动和一个匀加速运动至速度相等，结合速度时间图像面积和面积差的含义，如上述解析中所示顺利求出时间和两物体的位移。也可以做如下处理：从图像上求二者的位移和时间，图像重合部分是下面的三角形，把这个三角形割补到上面正好构成一个长方形，所以，整个过程中二者的位移和sA+sB=2×4 m=8 m，又由d=0.1 m和s=4 m得滑块C与槽相对静止时滑块C处于槽的中点，故sC-sB=0.2 m，联立求解得sC=3.9 m，sB=4.1 m。

四、“两体一维”弹性正碰，碰前、碰后相对速度间的关系

【例4】如图5所示，质量为mA=2 kg、长度为L=3 m的长木板A静止在光滑的水平地面上，长木板A的两端有弹性挡板M、N，一质量为mB=4 kg的物块B静止在长木板的中点，让物块B以v0=6 m/s的速度水平向左运动。已知物块B与长木板A之间的动摩擦因数μ=0.1，物块B与挡板的碰撞时间很短且没有能量损失，重力加速度g=10 m/s2。

图5

(1)求物块B最终停在长木板A上何处？

(3)求物块B在长木板A上滑动的时间。

五、定质量的“两体一维”正碰碰后速度的取值范围

【例5】如图6所示，质量m1=0.5 kg的小物块P置于水平台面上的A点并与弹簧的右端接触(不拴接)，轻弹簧左端固定且处于原长状态。质量M=1 kg的长木板静置于水平面上，其上表面与水平台面相平，且紧靠台面右端。木板左端放有一质量m2=1 kg的小滑块Q。现用水平向左的推力将P缓慢推至B点(弹簧仍在弹性限度内)，撤去推力，此后P沿台面滑到边缘C时速度v0=10 m/s，与小车左端的滑块Q相碰，最后物块P停在AC的正中点，Q停在木板上。已知台面AB部分光滑，P与台面AC间动摩擦因数μ1=0.1，AC间距离L=4 m。Q与木板上表面间的动摩擦因数μ2=0.4，木板下表面与水平面间的动摩擦因数μ3=0.1(g取10 m/s2)，求：

图6

(1)撤去推力时弹簧的弹性势能；

(2)长木板运动中的最大速度；

(3)长木板的最小长度。