一道求期望问题的解法探究与思考
——用递推思想求整数值随机变量的数学期望

安徽省淮南第二中学(232000) 赵 帅

概率一直是高中数学中的重点内容,其题目的设计背景大多与日常生活息息相关,下面就一道简洁有趣的求期望问题与大家探讨,以供参考.

一、问题再现与分析

题目5 位高矮各不同的小朋友随机地站成一列,较矮的会被较高的小朋友挡住.问不被挡住的小朋友人数的期望值为多少.

分析显然随机变量X可取1,2,3,4,5 这5 个数.由期望的计算公式:E(X)=可知解题的关键在于求出X取不同值时对应的概率.而各自对应的概率可由古典概型概率公式来计算.所以解题的关键在于求出对应的X取值情况下正确的排法数.为了简便,用数字1,2,3,4,5 分别指代身高由矮到高的5 个小朋友.则此时问题就转化为数字的排列问题.易知所有的排法数为.

当X=1 时,显然5 必须在第一位,剩下的4 个数字进行全排列.排法数为,概率为

当X=2 时,按照5 的前后数字个数进行分类,则有:

(1)前1 后3,则需要从1-4 数字中选1 个放至5 的前面,剩下3 个数字放至5 的后面进行全排列.则排法数为:

(2)前2 后2,则需要从1-4 数字中选2 个放至5 的前面(前大后小),剩下2 个数字放至5 的后面进行全排列.则排法数为:

(3)前3 后1,则需要从1-4 数字中选3 个放至5 的前面(3 个数中最大的数字在前,剩下2 个数进行全排列),剩下1 个数字放至5 的后面进行全排列.则排法数为:

(4)前4 后0,即5 在最后一位,必有4 在第一位,剩下三个

故当X=2 时,概率为

当X=3 时,按照5 的前后数字个数进行分类,则有:

(1)前2 后2,则需要从1-4 数字中选2 个放至5 的前面(前小后大),剩下2 个数字放至5 的后面进行全排列.则排法数为:

(2)前3 后1,则需要从1-4 数字中选3 个放至5 的前面(3个数中有1 个数字被挡住,有3 种排法),剩下1 个数字放至5 的后面进行全排列.则排法数为:3=12.

(3)前4 后0,即1-4 数字放至5 的前面.这4 个数中有2 个数字被挡住,若4 在第2 位,则对应的排法数为:若4 在第3 位,则对应的排法数为:若4 在第4 位,则对应的排法数为故这4 个数满足情况的排法数为: 6+3+2=11.

故当X=3 时,概率为

当X=4 时,按照5 的前后数字个数进行分类,则有:

(1)前3 后1,则需要从1-4 数字中选3 个放至5 的前面(前小后大),剩下1 个数字放至5 的后面进行全排列.则排法数为:=4.

(2)前4 后0,即1-4 数字放至5 的前面.这4 个数中有1 个数字被挡住,若4 在第3 位,则对应的排法数为:=3;若4 在第4 位,则对应的排法数为:+1=3,故这4 个数满足的排法数为6.

故当X=4 时,概率为

当X=5 时,显然是按照12345 的顺序进行排列,排法数为1.概率为

二、问题研究

根据题目条件虽然可以依次求出X=1,2,3,4,5 时对应的排列数,但其计算过程是极其繁琐的,也很容易出错.在计算期望过程中,可以感受到里面有一种比较隐蔽的递推关系,下面我们可将问题进行一般化推广并列举几种利用递推求期望的方法.

推广大小不同的n个数排列成数列:a1,a2,a3,··· ,an.令bk=max{a1,a2,··· ,ak}(k=1,2,··· ,n),以bk的不同取值作为元素组成集合A.如数列1,3,2,1,4,5 中,bk为1,3,3,3,4,5,对应的集合A为{1,3,4,5}.求集合A元素个数的数学期望.

为了解决这个问题,我们先找出期望的递推关系.

思路1(概率递推)当项数为n时,设集合A中的元素为Xn.则分布列如下:

Xn 1 2 3···n P P1 P2 P3···Pn

则有E(Xn)=1×P1+2×P2+3×P3+···+n×Pn且P1+P2+P3+···+Pn=1.

当项数为(n+1)时,集合A中元素个数为Xn+1.此时相当于在n个数字中再插入一个数字.为了简便,无妨设插入的这个数字比之前n个数都要小.现考虑一般情况,当Xn+1=k时,则有两种可能使得Xn+1=k,一是Xn=k时,n个数字产生(n+1)个空,要使得Xn+1=k,则此时将最小数插入到第1 位数字后的n个空中的某一个空; 二是Xn=k −1 时,n个数产生(n+1)个空,要使得Xn+1=k,则此时只能将最小数插入到第1 位数字前的位置.则此时可得递推关系:P(Xn+1=k)=×Pk.

此时分布列为:

Xn+1 1 2 3···n n+1 P nP1 n+1 P1 n+1+ nP2 n+1 P2(n+1)+ nP3 n+1···Pn−1 n+1+ nPn n+1 1 n+1Pn

利用待定系数法,设:

解得:x=1,y=,故E(Xn+1)=E(Xn)+

思路2(随机变量递推)此时相当于在n个数字中再插入一个数字,为了简便,无妨设插入的这个数字比之前n个数都要小,注意到n个数产生(n+1)个空.则Xn+1的值可能为Xn或Xn+1.若Xn+1=Xn,则相当于插入的最小数字放至第1 位数字后的n个空中的一个,对应的概率为:若Xn+1=Xn+1,则相当于插入的最小数字放至第1 位数字前的空里,对应的概率为:故可得分布列如下:

Xn+1 Xn Xn+1 P n n+1 1 n+1

因此,E(Xn+1)=Xn+则E(E(Xn+1))=E(Xn)+即E(Xn+1)=E(Xn)+

思路3(排列数递推)设N(n,k)为n个数排列使得集合A中元素个数为k时的排列数,N(n+1,k)为(n+1)个数排列使得集合A中元素个数为k时的排列数的排列数.要得到N(n+1,k),有两种构成方法.一是由N(n,k)构成,此时数字个数要从原本的n变为(n+1),但A中元素个数不变,即将最小数字放至第1 位数字后的n个空中的某一个位置;或由N(n,k−1)构成,此时数字加1 个且A中元素个数增加1,即将最小数字放至第1 位数字前的空里.则可得递推关系:N(n+1,k)=nN(n,k)+N(n,k−1).由于

综上结合思路1,2,3 可以得到期望递推关系:E(Xn+1)=E(Xn)+利用累加法可得:E(Xn)=由E(X0)=0,故故A中元素个数的数学期望为:当n=5 时,不被挡住人数的数学期望是:

三、对于结果的一点思考

求此类期望的难点在于求得递推关系,需要解题者具有一定的递推思想,而递推思想的本质在于从有限的事件关系从中找到事件发展的规律,进而将有限推向无限,而递推思想本身也是我们认识问题和解决问题的一个重要工具.在我们的平时教学中,可以通过一些有趣且有内涵的如切蛋糕问题,集齐卡片问题,击鼓传花等现实世界学生熟知的问题,有意向渗透递推思想,进而开拓学生视野,提升解决问题的能力,引导学生从数学的眼光看世界.

四、练习

不难看出,得出的期望结果很巧合的为著名的调和级数,事实上很多有意思的求期望问题其结果都为调和级数.下面提供两道所求期望形式为调和级数的练习供读者参考.

练习1小卖部出售一种外包装都一样的卡片,且每个包装只有一张卡片.这种卡片共有108 种样式,如果能凑齐这108 种样式的卡片即可获得奖品.问为了得到奖品平均要买多少张卡片? (答案: 108×

练习2100 人坐飞机,他们分别拿到了从1 号到100 号的座位,这些乘客会按照号码顺序登机并对号入座,如果他们发现对应的座位被人坐了,就会在剩余的空座位随便挑一个坐.现在假设1 号乘客随便选一个座位坐下,问平均有多少人没有坐到自己的位置? (答案: