“画”“话”“化”：提升学生数学学习能力的有效策略
——以《认识三角形》一课为例

江苏张家港市乐余中心小学 黄振华

核心素养是学生终身发展必备的品格和关键能力，“能力为重”显然是核心素养中的“核心要素”。素养是行为能力，培育学生的核心素养要通过能力发展的渠道。数学关键能力是小学生数学素养的基础部分，数学知识是数学能力形成的载体，也是学生数学素养形成的载体。

笔者曾执教过四年级下册的《认识三角形》，在教学中，笔者重视从“画”“话”“化”三个方面培养学生的数学能力。

一、画——在操作中感知

苏教版数学四年级下册专设了一个 “画图”策略的教学，其实学生对“画图”并不陌生，一年级的“比多比少”、二年级的“表内除法”、三年级的“和倍问题”……随着年龄的增长、经验的增加，用图能表现的知识、解决的问题越来越多，学生的学习经验也越来越丰富。遇到数学问题，画一画，能明晰题意、厘清关系、凸显特征、比较异同。《认识三角形》这一课，笔者设计了三次画三角形的教学环节。

1.初画——随意画

画自己心目中的三角形，学生一定能画对吗？答案是“不一定”。学生大体有这样几种画法：用三角尺描；画三条相交的边；先画一个角，再连线；先画三个点，再依次连起来。这个时候，学生作品的选择十分讲究。笔者找了几幅作品，有正确的例子，有错误的例子。着重从图1中的下面那个三角形展开讨论，将学生的注意力集中到三角形的边和角上来。学生发现边不够直，角是圆的，边与边没有连到一起。在判断图1中第一个图形是否是三角形时，他们看得非常仔细，一个小小的缺口都看出来了。图2中擦去的那一段留下的痕迹，成了一个极好的教学资源，笔者适时追问：为什么要擦去这一段？让学生深刻感受到 “围成三角形的三条线段需要首尾相接”。

图1

图2

欣赏作品之后，提出问题“到底什么样的图形才是三角形呢？”将学生的关注点再次聚焦，接着笔者在黑板上画三角形，首先明确三角形的边是线段，故意画了两条，请学生上来画第三条。实际上，这时第三条线段的端点所在的位置已经固定了，必须要和原来两条线段的端点重合，所以尺只有一种放法。为了凸显“首尾相接”，笔者特意改变尺的位置，学生说不行，三角形的边和边必须要相交，而且是端点和端点重合。至此，三角形概念的形成就水到渠成了。

2.再画——定点画

第二次画三角形是定点画（如图3），一是为了说明三角形的三个顶点不能在一条直线上，二是为了引出高的概念。这里设计了一次小组交流，任选3个为顶点，到底能画出几种三角形？小组交流后有不同的见解，在集体交流中可以听到思维碰撞的声音。

图3

三点在同一条直线上围不成三角形，学生已达成共识。问题：假如我就想让B、C、D作为顶点能围成三角形，可以怎么做？学生自然想到将C上移。观察画出的三个三角形，同桌讨论：什么没变，什么变了？目的是引导学生发现C点不断变化，它到BD边的距离也在不断变化，从而引出“高”的概念。

3.三画——同底等高画

第三次画三角形，是在最后的巩固拓展阶段，将书上习题进行了改编，提高了画三角形的要求，规定在方格纸中画一个底5厘米、高3厘米的三角形（如图4）。学生尝试，找到多种同底等高的画法，然后引导学生发现：底不变，三角形的第3个顶点的位置在同一条直线上，而这条直线与底所在的直线是一组平行线。利用平行线间距离处处相等的原理，得到可以画出不同形状的同底等高三角形。其间，穿插了解直角三角形高的特点和画法教学，以及钝角三角形高的特点。通常学生只能想到两三种画法，课件的辅助教学打开了学生的思路，移动的高（平行线之间的垂直线段）使教学更为直观、形象，学生更易理解。

图4

二、话——在表达中完善

在学习本课之前，学生对三角形究竟有多少认识呢？大多数学生仅限于能从一些平面图形中挑出三角形，少部分学生可能还会将三棱柱之类立体图形也认作三角形。在四年级上册，进一步认识了角之后，教材中安排了一些习题，测量三角形三个内角的度数，并算出内角和。学生对三角形的内角和是180度有了初步的感知，但并未得出这样的结论。那么，如何让学生在本课的教学过程中，完善之前对三角形的印象，归纳出三角形的定义和特征呢？师生、生生之间的交流和补充是有效的教学方式。

例如，在判断学生第一次画的图形是否是三角形时，笔者出示了几个画对的三角形，又出示了错例，接下来组织讨论：

师：你们觉得这位同学画的是三角形吗？

生（齐）：是！

师（放大图形）：确定吗？

生1：我觉得不是，它的一条边不直。

生2：它的两条边没有相交。

生3：它的角是圆的，三角形的角应该是尖的。

师：那他画的另一个是三角形吗？

生：也不是，右下角也没有连上。

师：那到底什么样的图形才是三角形呢？

生1：有3个角。

生2：有3条边，而且边是直的。

生3：边和边要相交。

一开始学生都认为这是三角形，在随后的讨论与交流中，个别学生的表达可能是片面的、不完整的，但是学生之间的互相补充使得他们的注意力自然而然地聚焦到了边、角和顶点上来。此时，笔者顺势在黑板上画出三角形的两条边，让一个学生画第三条边，大家都明确了要将画出的两条线段的端点用第三条线段连起来，“首尾相接”虽然学生不能想到，但是要点都已经完全掌握。

认识并学会画高之后，笔者提出问题：如果要请你介绍三角形的高，你会怎样说呢？学生的表达十分精彩：三角形的高说白了就是一条垂直线段；三角形的高一般用虚线表示，不能忘记标直角符号；画三角形的高就和我们刚学的画点到直线的垂直线段方法一样；一个三角形有3条高，它们相交于一点；不同的底有不同的高。经过上述教学环节，学生对高的认识在交流中越来越完整、越来越完善。

在数学课上，学生的表达欲得到了充分的尊重，学生的思维也在一步步完善、一步步提升。

三、化——在溯源中建构

如何正确画出三角形的高是本课的难点，好在这一课属于提前教学，是在刚刚学完画点到直线的垂直线段的基础上教学高的画法，只要稍加点拨就能勾连学生的已有知识经验和新知的联系。既然画高与画点到直线的垂直线段有直接联系，那么何不就从点到直线的垂直线段说起？当学生明确在同一直线的B、C、D点无法围成三角形时，笔者抛出问题：想个办法，让B、C、D能围成三角形。果然，学生提出将C点移到高一点的位置。笔者顺次改变了三次C点的位置，围出了三个高度不同的三角形。此时讨论：这三个三角形什么没变，什么变了？学生说了很多，当学生说到B、D没变，C点变了的时候，笔者进行了以下教学：

师：C点怎么变了？

生：C点越来越高了。

师：C点越来越高，说明C点离BD边的距离越来越——

生：远了。

师：以这个三角形为例，如果每个方格边长1厘米，你能说出C点到BD边的距离是几厘米吗？

生：5厘米。

在笔者的追问下，学生上台找到了那条垂直线段，这条垂直线段的长度就是C点到BD边的距离。这个教学过程激活了学生的已有经验，指出三角形的高和底的概念，顺理成章，同时让学生清晰地认识到三角形的高是一条垂直线段。

此时隐去方格纸再来找三角形的高，能找到的同学并不多，那是因为受到了另外两条边的干扰，当笔者利用课件隐去另外两条边后，学生明显产生了共鸣：原来画高的方法和画点到直线的垂直线段的方法是一样的，甚至有学生说出了前面老师讲到的画垂直线段的口诀：贴、靠、移、画、标。这样的处理，成功地将新知与旧学相勾连，化难为易，化未知为已知，学生对高的认识、画高的技能都追溯到了源头，本课的难点也就迎刃而解了。

笔者认为：画、话、化，是培养学生学习数学关键能力的三大手段。

画，即画图，不仅包括本课例中的按要求画图，还包括将题意用“图”来表示，如用符号、示意图、线段图来表示题目中的数量关系。在这个变抽象为直观的过程中，培养的不只是学生“画”的能力，更多的是理解能力、观察比较的能力，以及分析和思考的能力。

话，即对话，交流。课堂之上，师生、生生，甚至是生本之间，时刻存在着对话。智慧的教师会交出话语权，甘愿退居幕后，让学生在对话中不断修正、补充和完善对知识的理解。学生在课堂上有了“话语权”，他们才愿意说、敢于说、善于说。而对话的过程，正是思维不断碰撞的过程。有效的对话，会让学生的思维不断深入，让表达愈发完整，是培养学生思维能力和表达能力的重要手段。

化，即转化，化难为易、化繁为简、化抽象为直观、化未知为已知，通过追本溯源将相关的数学知识“打造”成一条知识链，甚至构筑成知识网络，这无疑是学好数学的优质方法。学习的过程是一个从简单到复杂的过程，但复杂的问题实际上是若干个简单问题的累加，所以学习的过程又可以看作是将复杂的问题转化为简单问题的过程。如本课例，利用课件，将画三角形的高的过程与画点到已知直线的垂直线段的过程实现了无缝对接，成功勾连了两个知识点之间的关系，为以后进一步认识平行四边形和梯形的高又打下了扎实的基础。这样的设计更是为了让学生体会到“转化”的意义，意在培养学生数学学习能力。

国际学生评价项目 （PISA）2012年对数学素养是这样定义的：数学素养是个体在各种情况下形成、使用、诠释数学的能力。具体包括数学交流、数学表达、符号使用、数学思维和推理、数学论证、建立模型、提出和解决问题、使用辅助工具和技术八大能力。核心素养不是纸上功夫，而是“躬行”能力。在教学实践中，让学生在需要的时候“画一画”，在恰当的时机 “话一话”，在遇到困难的时候 “化一化”，正是培养学生数学学习能力，提升学生核心素养的有效教学手段。