Picture模糊幂几何Heronian平均算子及其在多属性决策中的应用

王 磊,陶刘芹

(1.辽宁工程技术大学 基础教学部,辽宁 葫芦岛 125105; 2.辽宁工程技术大学 理学院,辽宁 阜新 123000)

0 引言

保加利亚学者Atanassov[1]1983年提出了直觉模糊集(IFS)的概念，它是处理不精确和不确定性问题的最有效工具之一。与Zadeh[2]的模糊集(FS)相比，直觉模糊集的突出优势在于，它不仅能考虑各个元素的隶属度，并且还给出了一个新的属性参数：非隶属度，使得它在处理模糊信息方面更具有灵活性。基于IFS理论，Cuong[3]最近引入了Picture模糊集(PFS)概念，并详细研究了PFS的一些基本性质，如有界性、幂等性、单调性。Picture模糊集反映的信息更加全面，包括四个方面：赞成、中立、反对、弃权，相比IFS理论，PFS能够更好的处理实际决策问题中的不确定性和模糊性。自从PFS理论被提出，已广泛的应用到多属性决策领域。Wei[4]提出了基于Picture模糊交叉熵的多属性决策方法。Garg[5]提出了Picture模糊加权平均算子、Picture模糊有序加权平均算子和Picture模糊混合平均算子，并应用于多属性决策问题。Wei等[6]提出了Picture模糊二元语义集成算子并应用到多属性决策问题。王春勇[7]基于概率的角度定义了一种能体现Picture模糊自身重要性和其位置重要性的Picture模糊混合加权几何算子。Peng等[8]基于距离测度，提出了一种新的Picture模糊多属性决策方法。Wei等[9]提出了一种Picture模糊投影决策方法。Thong等[10]提出了Picture模糊集与直觉模糊集融合的决策方法。Le[11]在Picture模糊集的基础上，研究了广义Picture距离测度。Liu[12]提出了一类Picture模糊语言集成算子。基于t-模和t-余模，Ashraf等[13]提出了新的Picture模糊几何集成算子。

上述研究的PFS集成算子都是假设属性间相互独立，实际多属性决策问题中属性间往往存在一定的关联，这种关联性会直接影响到决策结果。Heronian平均(HM)[14]算子可以有效刻画属性与其自身之间的关联性。Yu等[15]基于Heronian平均算子提出了区间直觉模糊环境下的多属性决策方法。Liu[16]在区间直觉模糊环境中，将幂平均算子与Heronian平均算子联合起来进行信息融合，提出了区间直觉模糊幂Heronian集结算子和区间直觉模糊幂加权Heronian集结算子。施明华等[17]将幂平均算子与Heronian平均算子相结合，提出了直觉模糊Heronian平均算子和直觉模糊加权幂Heronian平均算子。Liu等[18]基于t-模和t-余模，提出了直觉模糊阿基米德Heronian集结算子以及加权形式。Yu[19]提出了直觉模糊几何Heronian平均算子和直觉模糊几何加权Heronian平均算子。周晓辉等[20]提出了一种基于区间直觉模糊几何加权Heronian平均算子的决策方法。周晓辉等[21]基于区间直觉梯形模糊数和几何Heronian平均算子，提出了区间直觉梯形模糊几何Heronian平均算子和区间直觉梯形模糊几何加权Heronian平均算子。赵辉等[22]提出了区间直觉不确定语言几何Heronian平均算子以及加权形式。Liu等[23]基于新的运算法则，将分区Heronian平均算子扩展到语言直觉模糊环境中。另一方面，Xu[24]在幂几何的基础上，设计出一种可以挖掘数据间支持度的信息融合工具-幂几何算子。该算子能有效减少决策过程中，决策者因个人情感或则对决策对象了解不充分等情形下，给出异常偏好值的影响，从而能提高决策的公正性。幂几何算子的优良性质引起了很多学者的广泛关注，并推广至不同的决策环境下。Zhang等[25]将幂几何算子扩展到直觉模糊环境，提出了直觉模糊幂几何集成算子。Xu等[26]进一步研究了乘性语言偏好关系下群决策的幂几何算子。Wan等[27]提出了梯形直觉模糊数的幂几何算子并用此算子处理多属性决策问题。Dong等[28]基于三角模糊数幂几何算子，提出了一种群决策AHP方法。

以上文献研究表明：在实际的决策问题中，信息集结过程应该考虑属性间关联性和整体均衡性，Picture模糊信息集结算子有待进一步的完善。鉴于此，本文将几何Heronian平均(GHM)算子和幂几何(PG)算子相结合，并将它们扩展到Picture模糊环境，进而，提出了Picture模糊幂几何Heronian平均(PFPGHM)算子和Picture模糊加权幂几何Heronian平均(PFWPGHM)算子。新算子在集结过程中，能有效提取Picture模糊变量间的关联信息以及决策对象的整体信息，丰富了信息融合的研究内容。

1 基本知识

1.1 Picture模糊集

Picture模糊集考虑了隶属度、中立度、非隶属度、弃权程度这四个方面的信息，更符合决策者在对候选方案进行评估时表现出的支持、不确定、反对、弃权等思维习惯，因此，它比传统的模糊集、直觉模糊集在处理模糊性和不确定性等方面更具有灵活性和实用性。

定义1[3]设X是给定的一个论域，则论域X上的Picture模糊集A定义为:A={(x,μA(x),ηA(x),vA(x)|x∈X},其中μA(x)、ηA(x)和υA(x)分别为X中元素x∈A的隶属度、中立度和非隶属度，即对∀x∈X有：μA(x)∈[0,1]、ηA(x)∈[0,1]和υA(x)∈[0,1]，且满足条件0≤μA(x)+ηA(x)+υA(x)≤1，此外，称ρA(x)=1-(μA(x)+ηA(x)+υA(x))为弃权程度。

为便于讨论，我们把Picture模糊数(PFN)表示为是由μα，ηα，υα组成的有序实数对，记为α=(μα，ηα，υα)。

定义2[7]设α=(μα，ηα，υα)，αi=(μαi，ηαi，υαi)(i=1,2)是论域X上的三个Picture模糊数，其中λ>0为任意实数，则Picture模糊集的运算法则为:

1)α1⊕α2=(1-(1-uα1)(1-uα2),ηα1,ηα2,(ηα1+υα1)(ηα2+υα2)-ηα1ηα2)；

2)α1⊗α2=((uα1+ηα1)(uα2+ηα2)-ηα1ηα2,ηα1ηα2,1-(1-υα1)(1-υα2))；

进一步，关于Picture模糊数具有如下排序规则[5]:

定义3[5]令α1=(u1,η1,υ1)和α2=(u2,η2,υ2)为两个Picture模糊数。

(1)若s(α1)

(2)若s(α1)=s(α2)，则

(a)若h(α1)

(b)若h(α1)=h(α2)，则α1=α2

其中,s(α)=uα-ηα-vα和h(α)=uα+ηα+υα分别为Picture模糊数α的得分函数和精确函数。

1.2 GHM和PG算子

定义4[19]设p≥0，q≥0，且p与q不同时为0，ai≥0(i=1,2,…,n)，若

(1)

则称GHM为几何Heronian平均算子。

定义5[24]设ai≥0(i=1,2,…,n)为实数，若

(2)

2 Picture模糊幂几何Heronian平均集成算子

2.1 Picture模糊幂几何Heronian平均算子

定义6设p≥0，q≥0，且p与q不同时为0，αi=(ui,ηi,vi)(i=1,2,…,n)为Picture模糊数之集。若

PFPGHMp,q(α1,α2,…,αn)

(3)

称PFPGHM为Picture模糊幂几何Heronian平均算子。

定理1设p≥0，q≥0，且p与q不同时为0，αi=(ui,ηi,υi)(i=1,2,…,n)为Picture模糊数，则由PFPGHM算子获得的集成值仍是Picture模糊数，且有

PFPGHMp,q(α1,α2,…,αn)

(4)

定理3(幂等性) 设αi=(ui,ηi,υi)(i=1,2,…,n)为Picture模糊数，若α1=α2=…=αn=α，则PFPGHMp,q(α1,α2,…,αn)=α。

此外，我们验证了PFPGHM算子不具有单调性，其主要原因是PFPGHM算子将那些与整体性信息差异较大的元素(即待集结个体中较大或较小的元素)赋予了相应的非线性权重。

特别地，

由于PFPGHM算子是在集成变量重要程度相同的情形下给出的。在具体生活应用中，这一假设难以实现。下面研究Picture模糊加权幂几何Heronian平均算子，以处理对应环境下的MADM问题。

2.2 Picture模糊加权幂几何Heronian平均算子

定义7设p,q≥0，且p与q不同时为0，αi=(ui,ηi,υi)(i=1,2,…,n)为Picture模糊数。若

PFWPGHMp,q(α1,α2,…,αn)

(5)

定理5设p,q≥0，且p与q不同时为0，αi=(ui,ηi,vi)(i=1,2,…,n)为Picture模糊数，则由PFWPGHM算子获得的集成值仍为Picture模糊数，且有

PFWPGHMp,q(α1,α2,…,αn)

(6)

类似PFPGHM算子，PFWPGHM算子也具有有界性、幂等性和交换性。

特殊地，

1)若ωi=1，则有PFWPGHMp,q(α1,α2,…,αn)=PFPGHMp,q(α1,α2,…,αn)即PFWPGHM算子退化为Picture模糊幂几何Heronian平均(PFPGHM)算子。

3 Picture模糊多属性决策方法

下面给出一种基于Picture模糊加权幂几何Heronian平均(PFWPGHM)算子的多属性决策方法：

步骤1根据实际情况建立Picture模糊决策矩阵R=(rij)n×m。

(7)

步骤4根据给定的权重向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)T计算PFWPGHM算子各个元素的加权总支持度T可表示为

则PFWPGHM算子的加权非线性权重μ可表示为

k=1,2,…,m;l=1,2,…,n

步骤6计算综合属性值ri，i=1,2,…,n的得分值si，然后根据ri的优先级关系对方案Ai进行按从高到低进行排序，得分最高者作为最佳方案。

4 决策应用

4.1 决策实例

某跨国公司为了增加收益准备进行投资[9]，基于公司的战略规划，经过严格筛选有4个备选方案，分别为A1：“南亚市场”，A2：“东亚市场”，A3：“北亚市场”，A4：“本地市场”。主要从4个方面进行评估，即G1：“风险分析”，G2：“增长分析”，G3：“社会政治影响分析”，G4：“环境影响分析”，且属性权重向量为ω=(0.2,0.3,0.1,0.4)T。专家提供的Picture模糊决策矩阵R=(αij)4×4，如表1所示。

表1 Picture模糊信息决策矩阵

下面利用本文的决策方法，为该跨国公司选择合适的投资市场。

步骤1建立Picture模糊决策矩阵，见表1。

步骤2由于G1和G4属于成本属性，G2和G3属于效益属性，因此需要将上述Picture模糊决策矩阵进行标准化，标准化的矩阵如表2所示。

表2 标准化的Picture模糊信息决策矩阵

步骤3计算决策者给出的评估信息值的支持度矩阵。

步骤4根据权重向量ω=(0.2,0.3,0.1,0.4)T，计算PFWPGHM算子的加权总支持度T，与加权非线性权重μ。

步骤5利用PFWPGHM算子对方案进行集成，为考虑参数p，q对PFWPGHM算子集成结果的影响，取不同的参数值p，q，集成结果如表3所示。

表3 不同参数的PFWPGHM算子的综合属性值(p=q)

步骤6计算各综合属性值的得分函数，并对方案按从高到低进行排序，进而选出最佳方案。如表4所示。

表4 不同参数的PFWPGHM算子的得分函数和排序(p=q)

由表4看出，方案A1和A4排序略有变化，但最佳方案都为A2，即投资“北亚市场”。

4.2 参数p，q对决策的影响

由表4可知，在参数p=q取不同值的情况下，各个方案的得分函数值会发生变化。但随着参数值p和q的不断增大，方案排序结果也会发生相应的变化，当p=q取1，3，6，10时，排序结果为A2>A3>A1>A4。当p=q取13，15时，方案排序结果变化为A2>A3>A4>A1。这说明PFWPGHM算子中参数p和q的取值，对方案的得分函数值以及方案排序结果有一定的影响。尽管随着参数p和q的不断变化，方案排序结果会发生变化。但最佳方案均为方案A2。这也体现了PFWPGHM算子有一定的稳定性。因此，若从计算结果的方便性来考虑最佳决策方案，参数p和q的值均取较小正整数1，即p=q=1。另一方面，由于计算机和MATLAB软件的广泛使用，使得我们能够很方便地计算不同参数下p和q对应的方案排序，因而可以通过参数p和q的不同取值，观察到方案排序结果的变化，以便发现方案排序的内在变化规律。

4.3 方法对比分析

为了验证所研究方法的可行性并说明其优点，我们与现有的方法进行比较。

4.3.1 决策方法的可行性

为了验证本文方法的可行性，分别与基于PFWG算子[7]、PFAWA算子[5]、IFWPHM算子[17]、IFGHM算子[19]的决策方法进行分析比较，5种不同算子下的集成结果如表5所示。

表5 不同算子的集成结果分析比较(p=q=1)

由表5可知，在Picture模糊环境下，本文方法得到的方案排序结果与PFWG算子[7]、PFAWA算子[5]一致，即A2>A3>A1>A4，A2为最佳方案，从而说明了本文决策方法的可行性。

注1采用IFWPHM算子和IFGHM算子来处理本例的决策信息，需要将表1中的Picture模糊信息转换成直觉模糊信息，不考虑决策信息中的“中立度”即可。

4.3.2 决策方法的优点

表6 排序结果

由表6可以看出，部分决策数据改变之后，PFWG算子[7]得到的排序结果发生了变化，最佳方案变为A3；而本文的PFWPGHM算子得到的排序结果与数据未改变前完全一致，最佳方案始终为A2。说明，本文的决策方法能有效挖掘属性变量间的关联性，避免原始数据中过大或过小的点对决策结果的影响，使得决策过程更加客观公正。

此外，(1)在整个决策过程中，决策信息都是以Picture模糊数的形式表示，由于Picture模糊数相比直觉模糊数可以刻画更详细的评价信息。因此，PFWPGHM算子相比IFWPHM算子[17]和IFGHM算子[19]能够挖掘更多的决策信息；(2)PFWPGHM算子含有可调整的参数和，决策者可以根据具体情况选取恰当的参数，使得决策过程变得更加灵活。

5 结论

为了更加细腻的集结复杂环境下的决策信息，本文将几何Heronian平均算子和幂几何算子联合进行信息融合，提出了Picture模糊幂几何Heronian平均(PFPGHM)算子与Picture模糊加权幂几何Heronian平均(PFWPGHM)算子。新算子不仅能体现属性间的关联性，还能反映集结值的整体均衡性，从而降低了原始数据中过大或过小的点对决策结果的影响。同时，验证了新算子具有有界性、幂等性和交换性以及讨论了新算子的一些特例，并给出了基于PFWPGHM算子的多属性决策方法。最后，将本文方法与现有的方法进行比较，分析参数p和q对决策结果的影响，通过决策实例说明本文方法的可行性与优点。进一步研究，本文的决策方法可以扩展到多属性群决策问题。