从圆的反演变换到椭圆的反演变换

华南师范大学附属中学(510631) 罗碎海

平面几何中的反演变换是相当有趣的数学知识,它实现了圆与直线的转化.学习了椭圆后,自然想到,这种反演变换能否推广到椭圆中.

1 反演变换及其性质

1.1 反演变换定义及其几何作图

定义1在平面π上, 设O是一个定点,P,Q是射线Ox上的两点, 且满足条件OP ·OQ=r2, 我们称P与Q互为反演点,这个变换称为平面π的一个反演变换,记做I(O,r2).定点O称为反演中心(反演极),r叫做反演半径,以O为圆心、r为半径的圆叫反演基圆,r2叫反演幂.

图1

其实,OP ·OQ=r2⇔OP ·OQ=OR2(如图1).给出基圆,可作出P的反演点Q.

(1)若P在基圆⊙O上,则Q就是P.

(2)若P在基圆⊙O外, 自P向反演基圆引切线PA、PB(以OP为直径的圆与基圆⊙O交于A、B就是切点),连接切点A、B的直线与OP的交点Q为所求.

(3)若P在⊙O内,则反(2)之道以求之.

1.2 反演点的坐标关系

设P(x,y),Q(x′,y′)分别是关于反演变换I(O,r2)的一对反演点,P,Q在过O的同一射线上,所以设x′=λx,y′=λy(λ ＞0),因为|OP|=利用|OP|·|OQ|=r2,可得λ(x2+y2)=r2,所以x′=或者

这就是互为反演点P(x,y)与Q(x′,y′)的坐标之间的关系.

如图1, 我们知道[1]:若⊙O的方程为x2+y2=r2,点P在圆外且坐标为(x0,y0), 则切点连线AB的方程为x0x+y0y=r2.所以AB是点P关于圆O的极线,Q是OP与极线AB的交点.

1.3 反演变换的性质

在反演变换I(O,r2)下, 如果平面π的图形F变为图形F′,则称图形F′是图形F关于反演变换I(O,r2)的反形.反演变换的不动点称为自反点,而反演变换的不变图形则称为自反图形.

对于特殊的直线与圆,可得到其反演性质:

性质1.1反演中心不存在反演点.不共线的两对反演点共圆.

证明如图2,设O为反演中心,点A反演点为C,点B的反演点为D.由反演定义得OA·OC=OB·OD=k,故而∠AOB=∠DOC,所以ΔOAB∽ΔODC.由此……