对一道高考不等式证明题的探究

湖南省怀化市湖天中学(418000) 宋林洁

湖南省会同县第一中学(418300) 于先金

一、高考真题,简洁优美

2020年高考全国Ⅲ卷文、理第23 题:设a,b,c ∈R,a+b+c=0,abc=1.

(1)证明:ab+bc+ca ＜0;

(2)用max{a,b,c}表 示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥

这道试题简洁、对称、新颖、优美,难度不大,主要考查不等式的证明及基本不等式的应用,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算,值得我们去思考和探究.

二、参考答案,通性通法

证明(1)由题设可知a,b,c均不为零,所以

(2)不失一般性,不妨设a≥b≥c,所以max{a,b,c}=a, 因为abc= 1,a=-(b+c), 所以a ＞0,b ＜0,c ＜0.由bc≤可得abc≤故a≥所以max{a,b,c}≥

三、证法探究,数学好玩

1.第(1)问的证法探究

由已知条件a+b+c=0 与待证结论ab+bc+ca ＜0,易想到代入消元.

证法1(代入消元,分而治之)

由a+b+c=0 得a+c=-b,所以ab+bc=b(a+c)=-b2.同理可得bc+ca=-c2,ab+ca=-a2.以上三个不等式相加并整理得ab+bc+ca=(a2+b2+c2)＜0.

由已知条件a+b+c=0 与待证结论ab+bc+ca ＜0,易想到不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

证法2(结构联想,平方解决)

由已知条件a+b+c=0 与abc=1,可知a=b=c不可能.又a2+b2+c2≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时等号成立, 所以a2+b2+c2＞ ab+bc+ca.所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)＞3(ab+bc+ca)所以ab+bc+ca ＜0.

由a+b+c、abc及ab+bc+ca的结构特征,自然联想到一元三次方程的韦达定理.

证法3(韦达定理,构造方程)

设ab+bc+ca=m,又由已知a+b+c= 0,abc= 1,可知a,b,c是方程x3-0·x2+mx-1=0 的三个根,且a,b,c中一正两负,不妨设a ＞0,b ＜0,c ＜0.当x=b(b ＜0)时,有所以ab+bc+ca ＜0.

2.第(2)问的证法探究

不失一般性,不妨设a≥b≥c,所以max{a,b,c}=a,又a+b+c= 0,abc= 1,所以a ＞0,b ＜0,c ＜0.所以只要证明由已知条件含有和、积的结构,欲证结论又是不等式,自然联想到利用一些基本不等式.

证法1(利用均值,马到成功)

由(-b)+ (-c)≥得a≥解得易知当且仅当b=c=时等号成立.

证法2(不等放缩,同样精彩)

由a+b+c=0,得a=-(b+c),所以

a2=(b+c)2=b2+c2+2bc≥2bc+2bc=4bc=所以a3≥4,解得a≥

证法3(柯西登场,建立不等)

由a+b+c= 0, 得b+c=-a, 两边平方并整理得b2+c2=a2-2bc=a2-由柯西不等式得b2 +c2≥所以即a3≥4, 解得

由x2+y2=R2(R ＞0),可设x=Rcosθ,y=Rsinθ,于是有如下的三角换元.

证法4(三角换元,直达目的)

由证……