对2020年高考山东卷第21题的探究

山东省莒南县第一中学(276600) 李 明

今年是山东高考不分文理科第一年.高考结束后,笔者针对导数解答题对部分考生做了调查,结果显示:大部分考生都能完成第一问的解答;而对于第二问,由于无法直接分离参数,部分考生利用分类讨论,但对如何分类,分类的依据是什么不清楚,导致解答步骤不完整.以下笔者就该题探究如下.

题目(2020年高考山东卷第21 题)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a= e 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

本题主要考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题,考查综合分析求解能力,分类讨论思想和等价转化思想,属较难试题.

解析(1)三角形面积为(过程略).以下考虑问题(2)的解答.

思路一(直接分类讨论.标准解答)当0＜a ＜1 时,f(1)=a+ lna ＜1.当a= 1 时,f(x)= ex-1-lnx,f′(x)= ex-1-当x ∈(0,1)时,f′(x)＜0; 当x ∈(1,+∞)时,f′(x)＞0, 所以当x= 1 时,f(x)取得最小值, 最小值为f(1)= 1, 从而f(x)≥1.当a ＞1 时,f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).

评注此种解法简洁,但考生不易想到分类的依据,并且当a ＞1 时的放缩也对考生提出了较高的要求.

思路二( 必要性探路+ 隐零点)依题意, 对任意x ∈(0,+∞),aex-1-lnx+ lna≥1, 则f(1)≥1, 即a+lna≥1,令g(a)=a+lna,则g(a)单调递增,g(1)=1,故上述不等式等价于g(a)≥g(1),所以a≥1.

f′(x)=aex-1-,f′(x)在(0,+∞)上单调递增,又因为f′(1)=a-1 ≥0,取b=则f′(b)＜0,根据零点存在性定理, 存在唯一的零点x0∈(b,1], 使得f′(x0)= 0, 即故当x ∈(b,x0),f′(x)＜0,f(x)单调递减;当x ∈(x0,+∞),f′(x)＞0,f(x)单调递增.f(x)min=f(x0)=aex0-1-lnx0+lna=-lnx0+lna只需保证f(x0)大于等于1 即可,显然f(x0)在x0∈(b,1]上单调递减,f(x0)≥f(1)=1+lna,又a≥1,则1+lna≥1,f(x0)≥1,即f(x)≥1,当且仅当a= 1,x= 1 时等号成立,故a的取值范围是[1,+∞).

评注利用条件的必要性, 缩小参数的范围是导数解答题中求参数范围常用手段, 上述解法中先在定义域中取x=1,求出a的一……