曲线定点张定角 指点迷津富瑞吉
——以2020年新高考山东卷为例

安徽省合肥市第一中学(230601) 丁毓琪

2020年, 山东及海南率先使用新高考Ⅰ卷.其中,第22题因其考察的综合性和不俗的运算量,对学生的逻辑推理能力、转化与化归能力和运算能力都提出了很高的要求.题目如下:

题目(2020年高考山东卷)已知椭圆C:=1(a ＞b ＞0)的离心率为且过点A(2,1).

(1)求C的方程;

(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.

解(1)易得椭圆C的方程为

(2)①当直线MN的斜率存在时, 设其方程为y=kx+m,联立得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6 = 0,由Δ = (4km)2-4(2k2+1)(2m2-6)＞0,知m2＜8k2+3,设M(x1,y1),N(x2,y2),则

因为AM⊥AN,所以

即(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0,

所以(k2+1)·+(km-k-2)(-)+m2-2m+5 = 0, 化简整理得, 4k2+8km+3m2-2m-1 =(2k+m -1)(2k+ 3m+ 1)= 0, 所以m= 1-2k或

当m= 1-2k时,y=kx-2k+1,过定点A(2,1),不符合题意,舍去;当m=时,y=kx-,过定点设D(x0,y0),则y0=kx0+m.

(i)若k ̸= 0, 因为AD⊥MN, 所以k·=-1,解得所以

所以点D在以为圆心,为半径的圆上,故存在使得|DQ|=为定值.

(ii)若k=0,则直线MN:y=因为AD⊥MN,所以所以|DQ|=为定值.

②当直线MN的斜率不存在时, 设其方程为x=t,M(t,s),N(t,-s),且=1,因为AM⊥AN,所以

运算何其浩繁,让多少考生铩羽而归.事实上,本题的核心在于说明直线MN过定点P,因此点D在以AP为直径的圆上运动.而对于过定点张直角的二次曲线弦问题是解析几何上一类非常常见的考题,广泛出现在高考及各类考试上.本文拟就此类问题提出一般性的解法,并做推广.

而对于常见的二次曲线,其实本类问题都有定论.但常规方法是假设直线的斜截式方程,联立椭圆方程与直线方程,消元y后,由韦达定理并利用向量数量积形式表示垂直关系,计算量蔚为大观.这是本类问题频繁出现的原因,但由于庞大的计算量也让学生苦不堪言.

事实上,该题的题设条件可视为富瑞吉定理的特殊情形,表述如下:

性质1(福瑞……