透析2020年高考全国数学Ⅰ卷试题背后史料*

广东省广州市第九十七中学(510260) 徐进勇

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点,以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动.数学教育应努力渗透数学史、数学家、数学精神和数学应用等数学文化要素以及广泛的人文元素,感受数学价值,提升科学精神,培养应用意识,生成人文素养.新的高考评价体系旗帜鲜明地将“引导教学”作为高考的核心功能.2020 高考全国数学卷Ⅰ试题注重数学文化的融入,关注试题背后数学文化的建设与发展,这对提高学生整体数学文化素养起到积极作用.

第11 题(2020年高考全国Ⅰ卷理科)已知⊙M:x2+y2-2x -2y -2 = 0, 直线l:2x+y+ 2 = 0,P为l上的动点,过点P作⊙M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

试题情境中的ΔPAB构成了圆的“阿基米德三角形”.阿基米德(公元前287-公元前212)是古希腊伟大的物理学家、数学家,他最早利用逼近思想解决封闭图形的面积,体现了近代积分思想.他的数学贡献史无前例,享有“数学之神”称号.

图1

阿基米德三角形是指:过圆锥曲线上任意两点A,B分别作两条切线相交于点P,则称ΔPAB为阿基米德三角形.其中∠P为顶角,AB为底边,当AB过圆锥曲线焦点,此时ΔPAB叫阿基米德焦点三角形.图1 分别为椭圆、双曲线、抛物线的阿基米德三角形.

阿基米德三角形性质很多,下面我们撷取几例.

性质1椭圆的阿基米德三角形中,弦端点处的两条切线的交点P与椭……