双调和算子组高阶谱的估计式

黄振明

(苏州市职业大学 数理部， 江苏 苏州 215104)

在描述弦振动、热传导等许多物理现象时，最终都会归结到包含调和算子Δ的微分方程或方程组的谱问题。由于不同问题的离散谱代表了诸如物体振动的频率、粒子运动的势能等实际意义，因此，谱问题一直是微分方程理论研究的重点内容。近年来，国内外众多学者采用各种方法，对各自研究领域中含基本算子Δ的微分方程(组)的谱问题进行讨论，取得了诸多的理论成果[1-11]。文献[1]讨论了双调和算子的谱问题(也称作clamped plate问题)：(Δ2+v)u=Γρu，其中v是所论空间上的有界连续函数，ρ>0是权函数，Γ是离散谱，并得到了估计谱的一个隐式不等式。尽管双调和算子的谱问题研究成为热点已有几十年的历史了，但未见有学者对双调和算子组的谱问题进行讨论。因此，在文献[1]研究成果的基础上，笔者尝试探讨如下双调和算子组的谱问题：

(1)

其中i=1,2,…,l(l为大于或等于1的整数)，Ω⊂Rm(m≥2)是一个边界逐片光滑的有界区域，v是边界∂Ω的单位外法向量，x=(x1,x2,…,xm)，常数aij=aji，函数bij(x)=bji(x)(i,j=1,2,…,l)，且满足对任意l维向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξl)T，成立

(2)

(3)

μ1≤ρ(x)≤μ2，

(4)

上述v1、v2、μ1、μ2均为正实数。为推导方便，将下列一组l阶对角算子矩阵记为R1()=diag[,,…,]，R1(Δ)=diag[Δ,Δ,…,Δ]，R2(Δ)=diag[Δ2,Δ2,…,Δ2]，l阶对称系数矩阵维函数列向量则可将问题(1)写成下列矩阵形式：

(5)

1 准备知识

(6)

即有

(7)

(8)

利用算子Δ的运算性质，计算得

(9)

(10)

(11)

利用式(8)和(11)有

(12)

因为对i=1,2,…,n-1，成立Γi≤Γn，所以在式(12)中，用Γn替代所有的Γi(i=1,2,…,n-1)，有

(Γn+1-Γn)U≤4I。

(13)

2 引理

引理1 设ui是问题(5)对应谱Γi(i=1,2,…,n)的特征函数，则

(14)

证明利用分部积分、问题(5)的边界条件、Schwarz不等式和式(7)，得

即为引理1。

引理2 设ui是问题(5)对应谱Γi(i=1,2,…,n)的特征函数，则