求解BBM方程的一个新的高精度线性化差分算法

沙婵娟， 张 虹

(1.山西大学数学科学学院， 太原 030006； 2.西南交通大学希望学院， 成都 610400)

本文考虑如下带有非线性扩散项和耗散项的Benjamin-Bona-Mahony(BBM)方程的初边值问题：

ut-uxxt+ux-uxx+uux=0，(x,t)∈

(xL,xR)×(0,T]

(1)

u(x,0)=u0(x)，x∈[xL,xR]

(2)

u(xL,t)=u(xR,t)=0，t∈[0,T]

(3)

其中u0(x)是已知光滑的函数.方程(1)是Benjamin等[1]在研究非线性弥散系统中长波的单向传播时为考虑非线性波在传播中的耗散原理而提出的，是对描述浅水波损耗现象的KdV方程的修改.对这类问题的研究有重要的理论和应用价值.

文献[2-4]研究了方程(1)解的存在唯一性及收敛性.文献[5-12]对BBM方程进行了数值方法研究，但一般都只具有二阶理论精度.文献[13，14]对问题(1)-(3)分别提出理论精度为O(τ2+h4)的两层非线性差分格式和三层线性差分格式，但非线性差分格式数值求解时需要非线性迭代，耗时较多.本文先对方程(1)进行线性化离散处理，仅需在时间层将非线性项uux部分外推到n-1层即可保证时间层具有二阶理论精度.然后，利用Richardson外推[13]的思想在空间层进行外推，本文使空间层具有四阶理论精度，从而对问题(1)-(3)构造一个新的三层线性差分格式.在不能得到其差分解的最大模估计的情况下，本文综合运用数学归纳法和离散泛函分析方法[15]，直接证明了该格式的收敛性和稳定性.数值算例表明，相对于文献[14]的三层线性格式，该格式的精度有了大幅度的提高.

2 差分格式及其可解性

对问题(1)～(3)考虑如下有限差分格式：

(j=1,2,…,J-1；n=1,2,…,N-1)

(4)

(5)

(6)

(7)

引理2.1[15]对n=0,1,2,…,N，恒有

定理2.2若时间步长τ充分小,则差分格式(4)～(7)是唯一可解的.

证明 用数学归纳法.显然，U0和U1是由(5)式和(6)式唯一确定的……