一道圆锥曲线定值问题的探究与思考

江苏省南京市栖霞中学 (210046) 刘建国

圆锥曲线的定值定点问题一直是高考考察的一个热点与难点，多以压轴题的形式呈现，此类问题多以考察学生的数学运算、直观想象、逻辑推理能力等数学核心素养，教师在平时教学中，不仅仅是引导学生掌握定值问题的解法，更要注重对这类问题的本质进行梳理与探究(如文[1])，通过类比发散，在试题的剖析上更要有深度与广度，引导学生在解题的基础上对其进行深度学习与探究学习，找到解决问题的路径与方法，在课堂中潜移默化的灌输数学思想方法，培养学生的数学核心素养.笔者主要借助于2020北京卷中圆锥曲线定值问题，对其进行探究与类比，得出相应结论，展示探究这类问题的一般思路.

一、试题展示与解析

评注：本题以椭圆为载体，主要考察了定值问题，常用的技巧是“设而不求”的思想，通过数形结合与解析几何的解题的通法解决问题，同时本题主要体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养的考察.

二、提炼结论

由2020年北京卷圆锥曲线的定值问题，通过对条件与结论的对比观察，可以发现，点A的横坐标与点B的更坐标的乘积恰好是a2，得到yP+yQ=0,那么对于更为一般的椭圆方程，如果满足上述条件，则也具有相应的定值结论，如下所示：

图1

图2

三、结论推广

对于椭圆中有如上的定值结论，通过类比推理与逻辑推理，在圆锥曲线中的抛物线中也有类似的结论，如下：

图3

同样在双曲线……