立足函数性质背景 解决数列中的恒成立问题

江苏省盱眙中学 (211700) 梁 义

恒成立问题是高考中的热点问题，在近几年的各地模考、高考试题中，以数列为载体的恒成立问题，立意更高，综合性更强，值得我们去研究和关注.等差、等比数列作为两个特殊的数列，其通项公式、求和公式和一次函数、二次函数、指数函数都有一定的联系，充分挖掘二者的函数背景，可以加深对等差、等比数列的理解．

一、典例精析

若2d-1>0，不恒成立，舍去；

综上所述0

评析：数列本质上是一种特殊的函数，因此，研究数列的图象和性质，应注意从函数的观点入手，灵活运用函数思想，选用参变分离、含参讨论等方法，将其转化为函数最值问题进行处理.

二、借题发挥

分析：本题第(3)问中的{cn}为等差数列，所以通项cn是关于n的一次函数表达式，根据一次函数的单调性分析可得d=0；而数列{dn}、{en}的单调性可以通过作差来确定，结合反证法得d=0，c1=0.

解析：(1)(2)略；

综上，存在唯一的等差数列{cn}，其通项公式cn=0，n∈N*满足题设．

评析：数列可看作自变量为正整数的一类函数,数列的通项公式相当于函数的解析式,所以我们可以用函数的观点来研究数列.但要注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.

三、思维拓展

分析：第(3)问根据数列{cn}是等比数列可知通项为指数型函数，故可以对不等式两边取对数运算，“化超越为平凡”，进而了构造新函数，再以导数为工具分析新函数的单调性，从而得到q的取值范围.

评析：以等……