巧用平面向量不等式求函数的最值

◇ 山东 刘 丽

平面向量在数学解题中有着广泛的运用,它融数、形于一体,兼具几何形式与代数形式的“双重身份”,是中学数学知识的一个交会点和联系多项内容的媒介．利用平面向量求解最值问题是近年来最值求解研究的一个新突破．

在平面向量中有下面这几个不等式．

1)a·b≤|a|·|b|,当且仅当a与b同向时,等号成立．

2)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|,当且仅当a与b同向时,右边等号成立；当a与b反向时,左边等号成立．

3)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|,当且仅当a与b反向时,右边等号成立；a与b同向时,左边等号成立．

用这几个不等式可以快速求解某些函数的最值,下面举例说明．

例1求的最大值．

解析

例2求的最大值．

解析

例3求的最小值．

解析

设a＝(x,2),b＝(3－x,3),则

当且仅当3x＝2(3－x),即时,等号成立,故函数f(x)的最小值为的最大值．

例4求

解析

设a＝(x,1),b＝(x＋1,2),则

当且仅当2x＝x＋1,即x＝1时,a与b共线同向,此时等号成立,故函数f(x)的最大值为．

例5求的最大值．

解析

例6已知实数x1,x2,y1,y2满足,且,求的最大值．

解析

设A(x1,y1),B(x2,y2),所以A,B两点在圆x2＋y2＝1上,因为,所以,所 以又因为表示A,B两点到x＋y－1＝0的距离之和,设为d1＋d2,取AB中点P,则P到x＋y－1＝0的距离d＝．因为△AOB为正三角形,则P到x＋y－1＝0的最大距离,所以d1＋d2最大值为

图1

通过以上例题不难看出,使用平面向量求解函数最值的关键在于构造向量,在平面向量知识的辅助下,能够降低运算量,提高解题速度和准确率,为解决函数最值问题开辟了一条新的途径．