函数周期灵活多变,多维探究力显身手

◇ 山东 韩建坤

“东升西落照苍穹,影短影长角不同．昼夜循环潮起伏,冬春更替草枯荣．”数学与诗歌本不是一家,数学是抽象思维活动,诗词是阐述心灵的文学艺术,但有些诗与数学“联姻”,把数学嵌入诗中,装点了诗词的国度,让诗词多了一种气质和风情,而周期函数就是具有这种“气质风韵”的一类函数．

1 求函数的周期

例1若对任意x∈R,f(x)满足f(x＋2019)＝－f(x＋2020),则函数f(x)的周期为_______．

解析

由f(x＋2019)＝－f(x＋2020),得f(x＋2019)＝－f(x＋2019＋1),令x＋2019＝t,即f(t＋1)＝－f(t),所以f(t＋2)＝f(t),函数f(x)的周期为2．

点评

求解函数的周期问题,要紧扣函数周期的定义,牢记函数周期的常用结论,熟练掌握函数的对称性与周期性的关系．

变式已知f(x)是定义在R上的函数,且满足,则函数f(x)的周期为________．

2 周期函数的判定

例2设函数y＝f(x),x∈R．若函数y＝f(x)为偶函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称,求证：函数y＝f(x)为周期函数．

解析

由图象关于x＝a对称得f(2a－x)＝f(x),即f(2a＋x)＝f(－x)．

因为f(x)为偶函数,所以f(－x)＝f(x),从而f(2a＋x)＝f(x),所以f(x)是以2a为周期的函数．

点评

应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发,充分挖掘隐含条件,合理赋值,巧妙转化．

变式设函数y＝f(x),x∈R．若函数y＝f(x)为奇函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称,求证：函数y＝f(x)是以4a为周期的函数．

解析

若f(x)为奇函数,则图象关于原点对称,f(－x)＝－f(x),由条件得f(2a－x)＝f(x),f(2a＋x)＝f(－x)＝－f(x),故f(4a＋x)＝f(x),所以f(x)是以4a为周期的函数．

3 利用函数的周期性求值或范围

例3设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)＝2x－x2,则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝________．

解析

因为f(x＋2)＝f(x),所以函数f(x)的最小正周期T＝2．又当x∈[0,2)时,f(x)＝2x－x2,所以f(0)＝0,f(1)＝1,则

故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝1009．

点评根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论：若T是函数的周期,则k T(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．

变式已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若,则实数a的取值范围为________．

4 在周期现象中的应用

例4某班有48名学生,每天安排4名同学值日,一周上五天课,一学期按二十周计算,该班每位同学一学期要值日几次?

解析

共有48名学生,每天安排4名,则12个上课日就轮完一遍,而一学期有5×20＝100个上课日,12×8＝96个上课日,所以该班每位同学一学期至少值日8次,有一部分同学要值日9次．

点评应用周期现象解决实际问题的两个要点,如图1所示．

图1

变式十字路口处红绿灯亮灭的情况如下：1 min亮绿灯,接着10s亮黄灯,再接着1min亮红灯,10s亮黄灯,1min亮绿灯,则刚开始亮绿灯时,某人过路口,10min后又回到此路口,此时应该亮____灯．

太阳东升西落昼夜循环、潮涨潮落冬去春来(四季更替)、草枯草绿等尽显着大自然的不同寻常,周期函数都以独特的风采给人类带来美的感受．