无穷维Hamilton算子谱理论研究综述

阿拉坦仓, 吴德玉

(1.内蒙古师范大学 数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010022; 2.内蒙古大学 数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010021)

0 引 言

Hilbert空间中线性算子理论,尤其自伴算子谱理论是20世纪数学科学领域取得的最重要成果之一。有界自伴算子谱理论的奠基人D.Hilbert,在1904年至1910年完成的关于积分方程的六篇论文中阐述了有界自伴算子谱理论的思想。为研究量子力学问题,1927年至1929年J.von Neumann将有界自伴算子谱理论推广到了无界自伴算子领域。20世纪30年代,F.Riesz和M.S.Stone等人进一步完善了无界自伴算子谱理论框架。目前,自伴算子谱理论已经形成了比较完善的框架体系。众所周知的求解偏微分方程的分离变量法,又称Fourier级数法,就是以自伴算子谱理论为基础的。需要注意的是,当系统对应的算子是自伴算子时,该系统能量是守恒的,亦称封闭系统。然而,实际问题中也存在诸多能量不守恒的开放系统,其状态算子为非自伴算子。如散射理论和量子场理论领域的连续谱扰动问题以及量子力学中的特征值扰动问题,均属于非自伴算子谱理论范畴。因此,有必要研究非自伴算子的谱理论,拓广Fourier级数法的适用范围。目前,关于非自伴算子谱理论研究方法主要有预解算子方法、分块算子矩阵方法以及扰动理论等,虽然取得了一些重要突破,但还未形成完善的框架体系,非自伴算子谱理论是当代数学和力学领域亟待解决的重要理论问题之一。

如上所述,一般非自伴算子谱理论研究相对于自伴算子谱理论要复杂深刻。……