2021年广州一模导数压轴题的深入探究

东莞市第六高级中学(523400)李海玲

一、试题呈现

二、思路分析

第一小问考查了导数的几何意义,在求出切线方程以后,利用点斜式易得切线l恒过定点第二小问主要考查函数的零点,由于结论中没有参数,因此我们可以将零点x1,x2带入f(x)中,使用消参法消掉参数a,然后使用比值代换、构造函数,对函数进行求导求出其最小值.当然有必要对结论使用均值不等式进行适当的变形,以期出现较为简单的形式.这道题也属于双变量问题,能够较好的考察学生分析问题、解决问题的能力,是一道比较好的题目.

三、解法探究

图1

图2

四、试题背景探究

本题来源于一个较为熟悉的不等式lnx≤x−1,对于这个不等式可以通过构造函数f(x)=lnx−x+1,然后求导,判断这个函数的单调性,得极大值点x=1,由于f(x)≤f(1)=0,故得到不等式lnx≤x−1.本题的本质是双变量的问题,一般情况下是把两个变量的问题转化为单变量问题求解,其根本的途径是构造函数.

2010年高考天津卷第21 题的第三问出现了一个极值点偏移的问题.试题如下:

题目2(2010年高考天津卷)已知函数f(x)=xe−x(x ∈),

(I)求函数f(x)的单调区间和极值;

(II)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1 对称,证明:当x>1 时,f(x)>g(x);

(III)如果x1̸=x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2.

此外,2011年高考辽宁理科卷也出现了一个双变量问题.题目如下:

题目3(2011年高考辽宁卷理科)已知函数f(x)=lnx−ax2+(2−a)x.

(I)讨论f(x)的单调性;

(II)设a >0,证明:当时,;

(III)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f′(x0)<0.

在近几年的高考中也出现了类似的问题.

题目4(2013年高考湖南卷文科)已知函数f(x……