追根溯源 促进学生深度学习

赵有新

一、问题的提出

笔者所在学校的高一年级第七周的周测卷中，选取了一道考查向量数量积及投影的试题：在△ABC中，点M，N在线段AB上，，当N点在线段AB上运动时，总有，则一定有（ ）

A.BC⊥AB B.AC⊥BC C.AB=AC D.AC=BC

根据学校会课平台上的数据显示，此题的准确率仅有30%.随机抽取部分同學就做该题的实际困难做当面问询，发现学生对已知条件中的数量积不等式不能进一步转化，随便选一个选项。

二、追根溯源

究其原因学生虽然学了数量积的几何意义，但没重视学生对“向量的数量积”这一节课缺乏深度学习，思维呈现碎片化，没有理解知识间的逻辑联系。如果能熟练掌握并灵活运用投影的几何意义，此题的求解便迎刃而解。考虑到灵活运用投影的几何意义，在解决一些与数量积相关的问题时会有独特新颖、醍醐灌顶的作用。备课组顺势提出以《投影在数量及问题的应用》为主题的一堂研讨课。本文将本课的设计、课堂实施、课后反思写下来，与大家交流。

三、精心设计 促进学生深度学习

（一）地位和作用

向量具有“数与形”的双重特征，从“数”的特征看，向量的坐标让向量的线性运算和数量积有了代数运算的功能;向量可用有向线段表示，使向量有了“形”的直观。是数形结合思想方法在课堂教学时的重要载体，且两者可通过代数运算完成互化。通过向量的运算让图形可量化，同时使图形间的关系代数化。如在立体几何中求解空间角的问题，可通过代数运算替代复杂的图形分析。经过计算图形间存在的向量关系得出问题的解，使复杂几何问题的求解思路清晰、解题过程简洁。向量投影的概念是向量的几何属性，深刻理解投影概念，利用向量的几何意义替代繁琐的代数运算是本堂课一个重要研究方向。

（二）教学内容解析

人教社《数学A版》中《平面向量的数量积》这一节给出了数量积的定义：即已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量积|a|·|b|·cosθ叫作a与b的数量积，记作a·b.根据上述定义，我们就可以得到解决平面向量数量积的三种运算形式。

1.数量积的代数运算形式：a·b=|a|·|b|·cosθ.

2.数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ.

3.数量积的坐标运算形式：a·b=x1x2+y1y2.

在往届的学生作业中，我们发现初学向量时，学生不能很好应用向量“形”的特质去解题。究其原因是学生在之前的学习中固化了代数运算，对利用数形结合思想解题的方法比较生疏，在解题时习惯了从数的角度去思考，进而选择利用向量数量积的代数形式或坐标形式解题。而在试题编写时，命题者从考查能力的角度往往考虑优化策略而设置一些思维障碍点。这要求我们在平面向量的课堂教学中强化向量的双重属性，在解题时强调向量的几何意义常作为解题的优先考虑角度。

四、教学设计

题组1：（1）设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的投影为 .

（2）已知点A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），则的投影为 .

学生1：a在b方向上的投影为|a|cosθ，利用，只要再算出cosθ即可，因为cosθ=，于是得到答案.

学生2：可以直接通过公式|a|cosθ=直接算得答案

设计意图：通过师生对题组1的两个问题分析，知晓了这两道题事实上是数量积投影公式的直接运用，解决过程可以说是“直接应用，言简意赅”.题组1的解决对题组2的分析起到开源引渠的作用.

题组2：（1）已知菱形ABCD的边长为a，

.

（2）在△ABC中，C=90°，CB=3，

.

（3）如图1，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3， .

学生对第（1）题进行分析，解答如下：如图2由题意可知，，.

运用同样的方法可以得到第（2）题的答案为3.

通过对第（1）（2）题的解决思路的类比，学生不难发现在第（3）题中，过C作AP延长线的垂线，则利用中位线定理易知方向上的投影长度为长的两倍，计算可得答案为18.

设计意图：通过对题组2的三个问题的分析，不难发现这些问题事实上是数量积的直接应用，其解决过程可以说是“抓住关键，一击即中”。通过题组1的引导与铺垫，直观感悟之后，学生经过联想与想象得到题组2的相关解题思路。为解决题组3打开了隐形的枷锁。

题组3：（1） 在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则 .

如图3，在△ABC中，AD⊥AB， .

如图4，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2，M，N分别是AB，BC的中点，P是△ABC（包括边界）内任意一点， .

学生对第（1）题分析解答如下：如图5，由题意得知表示以原点为圆心，半径为1的上半圆（包含于X轴的交点）.而

在，

，此时直线PC与圆相切，且PC⊥BA于点C，做OD⊥BA于点D.则不难得到：

，

类比第（1）题的思维过程，学生可发现第（2）题可以先过点C作AD的垂线，然后利用三角形相似并结合向量的投影知识可以加以解决，答案.第（3）题的解决思路与前两题相同，如图4，易得分别是其在和，作MF⊥AN，BE⊥AN则可得答案[-3，3].

设计意图：经过对题组3的三个问题的分析，不难发现，这些问题事实上是数量积几何意义的更深入的应用，直观想象这一核心素养在解题过程中的作用显而易见.上面的步步为营的思维进程为文中开题提出的较难问题的解决奠定了知识与思维的基础。

探究题：问题提出时第七周周测卷中的试题解析如下：如图6，可设，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点N，设|HM|=a，则由数量积的几何意义可得，

，

，恒成立，整理得则a=1.故可知H为AB的中点，所以。

五、几点思考

数学课堂的落脚点应该是提升学生的学科素养，培养学生分析问题和解决问题的能力，撬动学生思维向高层次发展.因此在解决问题时，一定要避免让学生陷入“知其然不知其所以然”的生搬硬套，要避免机械重复式的低效甚至无效训练.教师应引导学生冲云破雾、剥茧抽丝，一步一步地去揭示数学问题背后所蕴含的数学本质，只有抓住本质，才能在应对千丝万缕、扑朔迷离的数学问题时得心应手、游刃有余。

1.要促进学生深度学习

深度学习以实际的问题为驱动，并将学习内容纳入原有认知结构，实现已有知识在新的问题情境中的合理迁移和生长发育.数学问题时无穷无尽的，教师不可能将所有的问题解决方法都交给学生，但将在已有知识学习中掌握的思想方法和技巧合理迁移到解决未知问题中去，是教师应该教给学生的。

2.要避免知识碎片化

高中数学概念众多，公式、定理庞杂，知识体系更是错综复杂，学生一节一节的课堂学习容易形成知识的碎片化.教师一定要善于引导学生搞清楚知识的来龙去脉、相互间的影响以及背后的逻辑关系，这样就可以从整体的角度看局部，形成解决一类问题的能力。

3.要善于搭建思维支架

总结数学基本思想和方法，通过题组的递进设计，在整个过程中以小步子、节节高的问题引领学生完成了对知识的深度串联和加工有效的突破了思维障碍。

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