从“经验性理解”走向“结构化理解”

张敏

[摘  要] 数学理解性学习的层级发展观认为，学习者在数学学习的过程中会相继经历经验性理解、形式化理解、结构化理解和文化性理解四个发展阶段。以此为指导，在“图形的旋转”教学中，以学生的生活经验为基础，通过搭建认知脚手架，构建立体知识网，实现“经验性”向“形式化”以及“数学化”向“结构化”的不断发展，并在各个理解层级中渗透数学文化，使得学生对旋转的本质达到深刻理解，空间观念得以发展。

[关键词] 理解性学习;认知脚手架;联系;空間观念

数学理解性学习的层级发展观认为[1]：作为过程，数学理解性学习追求的是在数学学习的历程中对数学的理解不断深入与拓展，学习者在数学学习的过程中会相继经历经验性理解、形式化理解、结构化理解和文化性理解四个发展阶段。随着学习过程的不断深入，学习者对知识的理解趋于精细与深入，浅层经验逐步发展为深层经验，单一的形式化理解逐步发展到具有关联性的结构化理解，并达到深刻的文化性体察与感受。

苏教版教材四年级下册“图形的旋转”是“图形的运动”板块的学习内容，通过学习使学生能从运动变化的角度去探索和认识空间与图形，领会图形运动的方式、规律、特点，积累图形运动的经验，从而发展学生的空间观念。学生已在三年级上册结合实例初步感知生活中的旋转现象，本节课是在此基础上，从旋转中心、旋转方向、旋转角度三个方面引导学生观察和描述图形的旋转，建构旋转概念。

学习难点主要有两个：一是体会旋转的基本特征，即旋转前后图形的位置改变，形状和大小不变：二是在方格纸上将简单图形旋转90°。教学中，教师要引导学生从熟悉的生活现象入手，通过“观察”“比较”“描述”等活动，把握旋转的三个要素;将生活中的旋转现象抽象成图形的旋转，以线段的旋转为中介，经历“操作、描述、想象”的过程，使得学习活动从直觉水平向联系水平过渡，从“经验性理解”走向“结构化理解”，把握图形旋转前后的变化情况，积累几何活动经验，形成空间表象，发展空间观念。

一、依托生活原型，提炼生活经验

1. 师（出示钟表图）：同学们，屏幕上的这只钟表，它的指针一直在运动，这种运动叫什么？

生（齐）：旋转。

师：你们在生活中还见过哪些旋转现象？（学生答略）

师：屏幕上有两只风车，我们吹口气，让它们旋转起来。仔细观察，这两只风车的旋转，有什么不一样？

生（齐）：旋转方向不一样。

师：左边这只风车，与钟表指针的旋转方向是一致的，这叫顺时针旋转。

学生伸手比画顺时针旋转。

师：右边这只风车，与钟表指针的旋转方向是相反的，这叫逆时针旋转。

学生伸手比画逆时针旋转。

师：通过观察和比较，我们发现旋转的方向有两种，要么是顺时针旋转，要么是逆时针旋转。（教师板书）

2. 师（动态出示车辆进出小区时转杆的运动）：转杆打开和关闭的过程，也是旋转吧？这两次旋转又有什么相同点和不同点？能不能用身边的物品，来模拟一下这两个旋转的过程，再和同桌说说你的发现。

学生模拟并交流。

3. 师：谁来一边模拟，一边说说？

生1：相同点是都有一个点固定不动，绕着这个固定点旋转的。

师：这个点叫作旋转中心，如果给它用字母O表示，就叫绕O点旋转。

生2：相同点是都旋转了90°。（教师在PPT上呈现用三角尺验证的过程）

生2：不同的是旋转方向，打开时是顺时针旋转，关闭时是逆时针旋转。

4. 师：一起来完整地说一说，这两次转杆分别是怎么旋转的？

生（齐）：绕点O顺时针旋转90°，绕点O逆时针旋转90°。

5. 师：现在，你们能不能总结一下，怎样才能把旋转运动准确、完整地描述出来？

生（齐）：要讲清旋转中心、旋转方向、旋转角度。（教师板书）

学生在日常生活中通过观察已经积累了大量的对于旋转现象的感性经验，经由三年级的学习，对这种感性经验又进行了一定程度的提炼，这些都构成了对旋转三个要素认识的基础。教学过程中，教师依托生活原型，通过观察、比较、动作模拟等将这些感性经验进行数学化的描述。

本环节中，教师从生活中的旋转现象入手，引导学生将两个风车的旋转进行比较，将学生的关注点聚焦到旋转方向上来，通过与钟表指针旋转方向的比对，以及手势、动作等模拟，将两种旋转方向表征于心。而教材中选择的转杆的旋转可以看作是线段旋转的生活原型，通过对转杆打开和关闭过程的动作模拟，教师用语言描述两种不同旋转的内隐的对比体验，从而使学生把握旋转运动的三个要素，完整准确地用数学语言描述旋转运动。

二、聚焦关键线段，把握旋转特征

1. 师：刚刚我们描述的，都是生活中的旋转现象。如果把转杆用线段AB进行表示，画在方格纸上，你能说说这条线段是怎样运动的吗？

生1：绕点B顺时针旋转90°。

师：线段在旋转之前和之后，不变的是什么？

生2：点B的位置不变，线段的长度不变。 （教师板书：定点、定长）

师：这条线段，改变它的旋转中心和旋转方向。让它绕点A逆时针旋转90°，你能把旋转后的线段画出来吗？

学生在练习纸上尝试。

师：这里有两幅作品，判断一下谁画得对？另一幅有什么问题？（学生答略）

师：根据大家易犯的错误，谁来给大家一个提醒，画图的时候要注意些什么？

生3：旋转中心点A位置不能变;旋转后的线段和原线段成90°;旋转后的线段长度不变。

2. 师：线段的旋转是解决平面图形旋转问题的基础，因为很多平面图形都是由线段围成的，比如说——三角形。（出示三角形ABC）你会把此三角形绕点A逆时针旋转90°吗？

教师给学生准备了小三角形，请他们在方格纸上按要求试着转一转，在纸上画一画旋转后的三角形。

学生用三角形纸片旋转，并尝试画图。

3. 师：请两位同学上来交流。

生1演示旋转的过程。

师：在旋转时，你觉得要注意些什么？

生1：旋转时要用手按着三角形的顶点A，因为顶点的位置不能变。

师：你们和他是一样旋转的吗？你们怎么知道转到这里就是逆时针旋转了90°呢？

生2：可以看AB这条边，它绕点A逆时针旋转了90°。

生3：也可以看另一条边AC，它也绕点A逆时针旋转了90°。

师：以A为端点的两条边，都逆时针旋转了90°，整个三角形就是逆时针旋转了90°，对吧？其实，边BC也与原来成90°。

生2（介绍画法）：A点不动，先画出边AB绕点A逆时针旋转了90°的线段，再画出边AC绕点A逆时针旋转了90°的线段，最后画出边BC。

师：老师这里还有两幅作品，你们看看，有什么想说的？

学生评价，教师相机板书：定点、定形。

师：我们把大家旋转和画图的经验，总结一下，看屏幕。（播放旋转和画图的动画、录音）

“旋转”的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”，即：“图形旋转后只是位置发生变化，形状和大小都没有变化”。如何能够对这一特征有较为深刻的认识，并能够利用这一特征画出旋转后的图形，特别是平面图形的旋转涉及对图形上的多个顶点与多条边的考量，对学生来说具有不小的难度。教学中，搭建认知的“脚手架”就显得十分重要。

在本环节中，学生首先认识线段的旋转。在前面对旋转三要素准确把握的基础上，将生活场景中的转杆抽象成线段画在方格图中，经历语言描述和作图两个层次的活动，从数学的角度理解线段旋转的特点，即定点、定长，为后面刻画三角形的旋转打下基础。

以线段的旋转为基础，为进一步充分把握平面图形的旋转的特征，组织了三个层次的活动。第一层次，教师为学生提供三角形纸片，让学生在动手实操的基础上，引导交流操作时的注意点，并组织学生讨论：如何确定是逆时针旋转了90°，在讨论中将平面图形的旋转，聚焦为以旋转中心为端点的关键线段的旋转。第二层次，带着操作、交流得到的感悟，教师组织学生画出旋转后的三角形，并对画图的过程与操作旋转三角形纸片的过程相对应，进行讨论与交流，进一步强化体验。第三层次，教师比较学生画图的正反例，总结出平面图形旋转的特点：定点、定形。

三、多维分层练习，促进深度理解

1. 师：方格能够帮助我们确定旋转角度，如果把方格去掉，你还能准确判断图形是怎么旋转的吗？（出示如图2、图3）

学生讨论后汇报：三角形绕A点逆时针旋转90°。

师：是从哪看出来逆时针旋转90°的？

生1：可以看AB这条边，它与旋转之前的角度是90°。（教师用PPT呈现三角尺的验证过程）

生2：也可以看AC这条边，它与旋转之前的角度是90°。（教师用PPT呈现三角尺的验证过程）

图3讨论略。

师：你们在判断时有什么技巧？

生（齐）：只看以旋转中心A为端点的2条边，就可以确定整个图形是怎么旋转的了。

2. 师：长方形也有4条边，绕A点顺时针旋转90°，可以考虑哪两条线段？想象一下它旋转后的样子，用手指对着屏幕画一画。

绕B点顺时针旋转90°，要考虑哪两条线段？绕C点顺时针旋转90°，绕D点顺时针旋转90°呢？（学生交流、想象）

师：请同学们按自己练习纸上的要求，画出长方形旋转后的图形。（学生分组画出绕点A、B、C、D顺时针旋转90°后的长方形）

教师展示学生作品，并评价。

师：比较一下这四幅图（图4）中的旋转，你们有什么想说的？

生（齐）：同样一个图形，旋转中心不同，产生的图形就不同。

3. 师：老师这里还有三个图案（图5），它们有什么共同特点？

生：都是由同样的两个图形组成的。

师：你能旋转每组中的一个图形，使每组图形都变成一个长方形吗？

学生讨论：每一组图形，只要把哪两条线段重合在一起，就能组成長方形了？要想把它们重合，在脑中想象一下，应该怎么旋转呢？

交流：第一组图形，可以把1号绕点O逆时针旋转90°，也可以把2号绕点O顺时针旋转90°。（PPT展示）

师：比较这两种不同的旋转，有什么发现？

生（齐）：旋转两个不同的图形，方向正好相反，都可以组成长方形。

师：第二组图案，你们想旋转几号？第三组图案，谁能把两种旋转方法都说出来？

（学生交流略。）

师：通过旋转，还可以把不规则的图形，转化成规则的长方形，这种方法在我们以后的学习中还会用到。

要达到对旋转的特征的深刻理解与把握，还需要学生从不同的角度，在丰富的空间想象活动中完善体验，进一步体会图形的旋转与图形中每一条边的旋转的一致性，从而准确把握旋转运动的特征。

在此环节中，教师设计了三个分层练习：练习一是在没有方格图背景的情况下判断图形是如何旋转的，学生只能通过对应线段的旋转来判断整个图形的旋转，强化了线段的旋转与图形旋转之间的联系;练习二则是将一个长方形绕不同的顶点旋转，首先要考虑的就是以旋转中心为端点的两条边旋转后的位置，再根据这两条边确定整个长方形旋转后的位置;练习三引导学生关注要将哪两条边重合在一起，仍然是根据图形中的一条边的位置确定整个图形的旋转，同时帮助学生体会通过旋转进行图形转化的方法，为学习多边形面积计算公式的推导做准备。三个层次的练习都聚焦于平面图形中以旋转中心为端点的边的旋转，都经历了观察、想象、验证的过程，在一定程度上达到了对学生空间想象能力的训练与培养。

四、拓展认知视野，增强空间观念

1. 师：刚才的练习中我们以长方形ABCD的四个顶点为中心旋转，其实还可以长方形内部的某个点为中心旋转，比如说这里的M、N点（如图6所示），顺时针连续旋转，会产生不同的图案，一起欣赏一下。（动态展示连续旋转产生图案的过程）

师：平面上很多美丽的图案都是这样通过一个图形旋转得来的，大家课后也可以用不同的图案试试。

师：大家刚上课提到开门和关门时，门也是旋转的，把门用长方形表示（PPT动态出示，图7），大家能不能准确地描述一下，开门时，长方形是怎么旋转的？关门时呢？

生（齐）：开门时，长方形绕BC边逆时针旋转90°;关门时，长方形绕BC边顺时针旋转90°。（PPT验证旋转角度）

师：在这里长方形的旋转与前面大家画的长方形的旋转，有什么不一样？

生1：前面的长方形是在平面上旋转的，而这里的长方形是在空间中旋转的。

生2：在平面上旋转，旋转中心是一个点;而在空间中旋转，旋转中心是一条线。

生3：平面上的旋转要定点、定形，空间中的旋转是定线、定形。

师：有什么相同之处吗？

生3：都是要从旋转中心、旋转方向、旋转角度三个方面进行描述。

师：如果这个长方形绕BC边连续旋转，你们想象一下，会产生什么图形？

生（齐）：圆柱体。（PPT动态呈现，图8）

师：其他的平面图形，如三角形、半圆，绕一条边连续旋转，会产生什么图形？

生（齐）：圆锥、球。（PPT动态呈现）

学生空间观念的形成，有赖于在线与面、面与面、面与体之间的变化与联系中去不断深化认识，而旋转现象正是能够体现这种变化与联系的运动方式，因此教学中教师应该有意识地提供相关的素材，组织学生观察、比较、体验。

在本环节中，通过欣赏相同的长方形绕不同的点连续旋转所产生的图案，让学生体验旋转中心对于旋转运动的重要意义，感受数学美、几何美;进而以生活中门的旋转现象为原型，准确描述长方形在空间中绕一条边的旋转，拓宽对旋转中心的认识、训练学生的空间想象能力，为后续学习圆柱、圆锥等知识做一定的铺垫。将学生对图形的旋转的认识，从平面扩展到空间，同时沟通相互间的联系，有意识地发展学生的空间观念。

五、回顾总结反思，提升学习体验

师：通过今天的学习，你有什么收获？

生1：旋转的三个要素是旋转中心、旋转方向、旋转角度。

生2：学会描述图形的旋转和画旋转的图形。

生3：知道线段的旋转要定点、定长;图形的旋转要定点、定形。

师：在图形的旋转中，只要做到了线段的定点、定长，就能够做到图形的定点、定形。其实这是一种重要的经验：研究平面图形，抓住其中最重要的几条线段去进行研究、观察、比较，能够掌握整个图形的运动变化特点。

回顾、总结、反思是提高元认知水平、提升学习能力的必要环节，学生不仅要对一节课所学的知识、技能进行总结，对学习的过程进行回顾，对学习的方法进行反思，更要对学习的经验和策略进行提炼，站在一定的高度统摄前后相关学习内容，形成良好的认知结构。

此环节中，教师进一步引导学生明晰了线段的旋转、平面图形的旋转之间的联系，更重要的是，在学生总结回顾的基础上通过教师的提炼，强化了学生根据图形中的线段研究平面图形的体验，渗透了“部分与整体”之间关系的辩证思维，为以后研究平面图形的其他知识积累感性经验与理性经验。

本节课中，从“定点、定长”到“定点、定形”再到“定线、定形”的概括，建立了线段的旋转与平面图形的旋转之间的联系，以及平面图形绕固定点旋转与绕固定线旋转的联系;将两个完全一样的图形通过旋转转化成长方形的练习，与五年级学习多边形面积计算公式的推导建立了有效联系;以门的旋转现象为原型，描述长方形在空间的旋转，与六年级学习圆柱、圆锥等知识建立了联系;通过欣赏相同的长方形绕不同的点连续旋转所产生的图案，与数学的美建立了联系。在这些不同层面建立联系的过程中，实现了“横向数学化”与“縱向数学化”，并进一步走向高度的“结构化”，在各个层级中渗透数学文化，使得学生的直观思维与抽象思维相互融通，感性经验不断丰富，理性经验不断提升，空间想象能力得到训练，空间观念得以发展。

参考文献：

[1]  吕林海. 数学理解性学习与教学：文化的视角[M]. 北京：教育科学出版社，2013.